Problème 12 Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité graphique est le centimètre. Pour tout entier naturel n non nul, on considère les fonctions fn et Fn continues sur R et définies par : f(x) = et Fn(x) = √1 + x2 Sa -x t2n 0 √1+t² dt On note (C) la courbe représentative de la fonction Fr dans le repère (0,1,J). On se propose dans ce problème de donner, pour tout entier naturel n non nul, l'allure de la courbe (Cn). Partie A On considère la fonction f définie sur R par: f(x) = ln(x + √1+x²). On désigne par (C) la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère (O, I, J). 1. Démontre que f est une fonction impaire. f(x) 2. a) Calcule la limite de f(x) puis celle de quand x tend vers +oo. x b) Donne une interprétation graphique des résultats de la question précédente. Descartes 14 Lycée Public de Niamakoro (L. Niama) 3. On admet que f est dérivable sur R. 1 a) Justifie que: Vx = R, f'(x) = √1+x² Chargé du cours : Abdoulaye Drissa DEMBÉLÉ b) Détermine le sens de variation de f sur [0; +00[. c) Dresse le tableau de variation de f sur [0; +oo[. [email protected] 76 34 32 34 / 66 34 32 34 4. Détermine une équation de la tangente (A) à (C) au point d'abscisse 0. 5. On note g la fonction dérivable sur R et définie par: g(x) = x + In(x + √√1 + x²). a) Détermine le sens de variation de g sur R. b) Détermine les positions relatives de (C) et (A). (On pourra calculer g(0)). 6. Construis la courbe (C) et la droite (A) dans le plan muni du repère (O, I, J). 7. On note A l'aire en cm² de la partie du plan limitée par la courbe (C), la droite (01) et les droites d'équations x = 0 et x = 1. Calcule A à l'aide d'une intégration par parties. Partie B 1. a) Justifie que F est définie sur R. b) Démontre que F est une fonction impaire. c) Étudie le sens de variation de F sur [0; +[. 2. Soit (In) la suite numérique définie par : D Io = ln(1 + √2) et Vn Є N*, In = a) Démontre que : Vn E N, In ≥ 0. +2n +t2 dt b) Démontre que la suite (In) est décroissante. c) Démontre que la suite (In) est convergente. (On ne demande pas de calculer la limite de (In)). d) Vérifie que pour tout entier naturel n non nul et pour tout nombre réel t positif, on a : t2n √1+ t² t2n t2n+2 + √√1+t² √1+t2 e) A l'aide d'une intégration par parties, justifie que: 2n+1 Vn E N*, In+1 = 2n+2 In 2n + 2 +2n+2 On remarquera que pour tout nombre réel t, t2n+1 x t √1+t2 √1+t2 On admettra que: 11 √2 1 = 2 f) Calcule ₁ et 12.​