Exercice 1
Partie A. Soient ABC un triangle équilatéral de côté Ɑ et λ €]0, 1[. On note A₁ et C₁ les points tels que AA₁ = AAB et CC =AAB et CC₁ = CA.
1. (a) Vérifier que AA₁ = λⱭ et AC₁ = (1 − λ)Ɑ.
(b) Calculer AA₁ · AC₁ en fonction de A et Ɑ.
(c) En déduire A₁À · A₁C₁ en fonction de λ et Ɑ.
2. Comment choisir λ pour que (A₁C₁) soit perpendiculaire à (AB)?

Parite B. On note T0 le triangle équilatéral ABC et T₁ le triangle A₁B₁C₁ obtenu de la manière suivante : AA₁ = 1/3*AB, CC₁ = 1/3*CA et BB₁ = 1/3*BC.
(a) Démontrer que A₁C₁ = (Ɑ√3)/3 et que A₁B₁C₁ est un triangle équilatéral. (b) On note so l'aire de T0 et s₁ l'aire de T₁. Montrer que s₁ = 1/3 s0 .

2. On construit à partir de T2 à partir de T₁ suivant le procédé qui a permis de construire T₁ à partir de To. En réitérant cette procédure, on obtient une suite (In)neN de triangles équilatéraux d'aires respectives la suite (Sn)nЄN. (a) Quelle est la nature de la suite (Sn) nЄN? Calculer S, en fonction de a et de n, pour tout n = N. (b) Combien de fois faut-il réitérer la construction pour obtenir un triangle dont l'aire est inférieure à 10-3 so?​