67 Coût unitaire et rentabilité Calculer Partie A On considère la fonction fdéfinie sur [0,5; 8] par: f(x)=(-4x+5)e**+3 On note C, la courbe représentative de la fonction f dans un repère. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'in- tervalle [0,5; 8]. 1. Démontrer que, pour tout x réel de [0,5; 8], on a : f'(x)=(4x²-8x-5)e 3 2. Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0,5; 8] et en déduire les variations de f. 3. On considère l'équation f(x) = 3. Déterminer par le calcul son unique solution x dans l'intervalle [0,5; 8]. En donner une valeur approchée à 102 près. Partie B Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend ensuite en totalité. Le coût moyen unitaire de production peut être modé- lisé par la fonction f de la partie A: pour x hectolitres de peinture fabriqués (avec x E [0,5; 8]), le nombre f(x) désigne le coût moyen unitaire de production par hectolitre de peinture (coût moyen de production pour un hectolitre de peinture), exprimé en centaine d'euros (on rappelle qu'un hectolitre est égal à 100 litres). Dans la suite de l'exercice, on utilisera ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A. 1. Déterminer le coût moyen unitaire de production en euro, arrondi à l'euro près, pour une production de 500 litres de peinture. 2. Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de pro- duction? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près ? 3. Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 €. À l'aide de la question précédente, déterminer si l'entreprise peut réaliser des bénéfices. 4. Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 300 €. On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice. Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise?
