On considère une bille d'acier de masse m. A l'instant = 0,
cette bille est déposée sans vitesse initiale à la surface d'un
tube rempli d'un fluide visqueux.
La position du centre G de la bille est repérée par l'axe verti-
cal orienté vers le bas (Oz) comme ci-contre.
La force exercée par le fluide sur la bille en mouvement est de
la forme F=-kv, où est une constante positive et v le vecteur
vitesse du centre G de la bille à l'instant.
La norme v du vecteur est une fonction de t qui vérifie l'équation différentielle
(E) v’=-k/m v +alpha x g, où g est l'accélération de la pesanteur et alpha une constante dépendant
des masses volumiques de l'acier et du fluide.
1. a. Résoudre l'équation différentielle v’=-k/m v
b. Déterminer la solution particulière constante de (E) en fonction de k, m, alpha et g.
c. En déduire que la solution générale de (E) est v(t)= Ce-k/mt +amg/k
d. En tenant compte de la condition initiale, déterminer l'expression de v(t) en fonction de t
2. On suppose que m= 5.10 kg. g= 9,81 m.s2, a=0,9, k=7,6.10-2 kg.s-1.
a. Donner l'expression de v(t), en arrondissant les coefficients à l'unité.
b. Étudier les variations de la fonction v sur [0; +infini[.
c. Déterminer la limite de v en +infini cette limite est appelée vitesse limite de la bille;
on la note Vlim
d. Représenter graphiquement la fonction v.
e. On considère que la vitesse limite est atteinte lorsque la vitesse de la bille est égale
à 99 % de la vitesse limite. Au bout de combien de temps peut-on supposer celle-ci
atteinte? Arrondir au centième de secondes.