Exercice 3
Géométrie dans l'espace
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé dont l'origine est le point A.
On
considère les points B(10;-8; 2), C(-1;-8
;5) et D(14;4:8).
1. a) Déterminer un système d'équations paramétriques de chacune des droites (AB) et (CD).
b)
Vérifier que les droites (AB) et (CD) ne
sont pas coplanaires.
2. On considère le point I de la droite (AB) d'abscisse 5 et le point J de la droite (CD) d'abscisse 4.
a) Déterminer les coordonnées des points I et J et en déduire la distance U.
60
min
5 POINTS
b) Démontrer que la droite (U) est perpendiculaire aux droites (AB) et (CD). La droite (UJ) est appelée perpendiculaire commune
aux droites (AB) et (CD).
3. Cette question a pour but de vérifier que la distance
U est la distance
minimale entre les droites
(AB) et (CD).
Sur le schéma ci-dessous on a représenté les droites (AB)
et (CD), les points I et J, et la droite A parallèle à la droite
(CD) passant par I. On considère un point M de la droite
(AB) distinct du point I. On considère un point M' de la
droite (CD) distinct du point J.
a) Justifier que la parallèle à la droite (UJ) passant par
le point M' coupe A en un point P
b) Démontrer que le triangle MPM' est rectangle en P.
c) Justifier que MM' > U et conclure.