Devoir Maison n°7 (facultatif)
Il s'agit de l'exercice 4 de l'interrogation écrite n°7 avec davantage d'indications mais également une question supplèmentaire (cf. question 2)b)bis).
Exercice
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u, vérifiant les deux conditions suivantes:
Tous les termes de la suite u sont strictement négatifs. La suite u est strictement croissante.
1) a) Exprimer q en fonction de u et u (indication: on rappelle que un+1 =un x q).
1) b) Justifier que q>0 (indication: partir de l'égalité obtenue à la question 1) et s'appuyer sur l'une
des
deux propriétés de la suite u données par l'énoncé).
1) c) Justifier que q<1 (indication: partir à nouveau de l'égalité obtenue à la question 1) mais utiliser l'autre propriété donnée par l'énoncé).
On vient ainsi de prouver que 0 2) a) Calculer dans un premier temps u2
b) Puis calculer u1 et u3
Indications
u2 s'obtient grāce à l'égalité u1 x u3 = 4/9 Les deux égalités suivantes peuvent être utiles lors du calcul de u2 :
(u1)²x q² = (u1 × q)² et (4/9) = (2/3)²
Une fois la valeur de u, connue, l'égalité u1+u2+u3 = -(19/9) permet d'obtenir l'égalité u1 +u3 = ...
On a alors d'une part la somme u1 +u3 et d'autre part le produit de u1 x u3 On peut noter: S=u1 +u3, et P=u1 x u3.
On fait un lien avec le « Second degré » (voir chapitre 1, partie VI « Somme et produit ») dans la mesure où les nombres u1 et u3 sont alors les racines du polynôme du second degré x² - Sx+ P. avec S et P définis ci-dessus, ce qui permet de calculer u1 et u3
2) b)bis Dès que la valeur de u2 est connue (c'est-à-dire dès qu'on a répondu à la question 2)a)), une deuxième méthode permettant de calculer u1 et u3 est envisageable. Pouvez-vous calculer u1 et u3 d'une deuxième façon ?

Indications
La deuxième méthode s'appuie également sur l'égalité u1 + u2 + u3 = -(19/9) mais utilise le fait que u1 + u2 + u3 est la somme de trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
On gardera à l'esprit que 1 - q^3=1^3-q^3 et on pourra utiliser l'identité remarquable ci-dessous:
pour tous réels a et b, a^3 - b^3= (a-b)(a² +ab+b²).
Merci de m'aider.