25 min 3 Découvrir l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
A S'éloigner de l'espérance
On considère la variable aléatoire X donnant le gain à un jeu de grattage dont la loi de probabilité est donnée ci-dessous. x₁ 0 2 4 6 10 20 100 1.000 25.000
p(X=x1) 0,682 0,1435 0,103 0,0363 0,0225 0,0126 9,73 x 10-5 2 x 10-6 7x10-7
1. Déterminer E(X). Pour la suite, on prendra E(X) = 1,423.
2. Déterminer les probabilités suivantes. a) p(|X-E(X)|》15) b)p(|X-E(X)| 》100) c) p(|X-E(X)|》10000)
3. Que semble-t-on pouvoir dire de la probabilité p(|X - E(X)|》&) quand & devient grand?
B Comparer p(X-E(X)|》&) et V(X) /&²
On admet que la variance de X est V(X) = 450 (en réalité, 450 est un arrondi à l'entier).
1. Calculer V(X)/&² pour & = 15, pour & = 100, puis pour & = 10 000.
2. Comparer p(|X-E(X)| 》&) et V(X)/&² dans ces trois cas.
3. Quelle conjecture peut-on faire sur p(|X - E(X)|》&) et sur V(X)/&² ​