J'ai un dm à rendre je n'ai absolument rien compris s'il vous plaît sauvez moi:

1. Dans un village de cases (petites cabanes traditionnelles) reculé d’Amérique du

Sud, le chef du village a décidé que chaque villageois devrait être à la même

distance de la source (Fuente en espagnol) et du chemin principal (cette

distance pouvant variée d’un habitant à l’autre).

Le plan est muni d’un repère orthonormé (, ⃗,⃗), le chemin principal , noté , a

pour équation = 0, c’est donc l’axe des abscisses, et la source est (2; 1).

a. Montrez que les cabanes (chacune assimilée à un point dont l’abscisse est un

entier) sont situées sur la parabole d’équation = 0,5

ଶ − 2 + 2,5.

b. On considère la fonction : → 0,5

ଶ − 2 + 2,5.

Etudiez les variations de et dressez son tableau de variations.

c. Donnez les coordonnées du sommet de la parabole, là où habite le chef du

village.

d. Chaque habitant doit aussi se situer à au plus 5 unités de mesure de la

source .

Déterminez les coordonnées des deux cases ଵ et ଶsituées à l’extrémité du

village, puis représentez le village.

e. Calculez ଵ

ሬሬሬሬሬሬሬ⃗. ଶ

ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ et en déduire l’angle ᇩଵᇪᇫଶ.duquel le chef peut observer

les confins du campement.

f. Un villageois, situé à la case d’abscisse 3, a remarqué que lorsqu’il plaçait un

miroir tangentiellement à la parabole les rayons arrivant parallèlement à l’axe

des ordonnées étaient déviés vers la source.

Déterminez l’équation de la tangente à la parabole en ce point, ainsi que sa

perpendiculaire passant par ce point, puis vérifiez graphiquement la

propriété énoncée.

2. Un des habitants , nommé Wichasa, pour distraire les villageois mais pas que, a

créé un jeu : il a mis dans un sac deux cailloux bleus et trois jaunes.

Le jeu consiste à tirer trois fois sans remise un cailloux du sac, on gagne une

pièce pour chaque caillou bleu sorti mais si l’on a tiré que des cailloux jaunes, on

doit donner une somme de pièces, ∈ ℕ, que nous déterminerons.

On note la variable aléatoire égale au gain.

a. Créer un arbre de probabilité représentant la situation.

b. Déterminez la loi de la variable aléatoire , en justifiant soigneusement.

c. Calculez, en fonction de l’espérance de .

d. Wichasa veut choisir entier naturel le plus petit possible pour que le jeu soit

rentable, car avec les gains il veut faire une cagnotte commune pour embellir le

village.

Quelle valeur doit-il donner à ?
3. Un des villageois veut créer un puit pour éviter de se déplacer tous les jours à la

source. Le sourcier lui prend 100 pièces pour forer le premier mètre mais

augmente la somme demandée de 5% à chaque mètre suivant.

On note ௡ le coût du − è mètre creusé. On a donc ଵ = 100 et ଶ = 105.

a. Quelle est la nature de la suite (௡) ? Justifiez soigneusement.

b. Quel est le coût du 10-ème mètre foré.

c. On note ௡ le coût de forage de mètres.

Montrez que ௡ = 2000(1,05௡ − 1).

d. Le villageois ne veut pas dépasser la somme de 1000 pièces pour forer son

puit. Ecrire une fonction puit(S) qui renvoie le nombre de mètres que l’on

pourra forer avec S pièces puis donner l’instruction utile au villageois.

4. Un jour, partis à la chasse, cinq villageois ont découvert un trésor de pièces d’or :

ils ont promis de se le partager mais, durant la nuit, chacun à son tour mais sans

se concerter est venu au pied du tas d’or, a prélevé d’abord une pièce puis a

partagé le reste des pièces en cinq et a caché sa part.

On note ௡ le nombre de pièces restantes après l’intervention du − è

chasseur , ଴ étant le nombre de pièces du tas d’or.

a. Justifiez que ௡ାଵ = 0,8௡ − 0,8.

b. Déterminez la valeur de vérifiant = 0,8 − 0,8.

(Si il y avait pièces dans le tas d’or au départ, le stock d’or resterait inchangé

après chaque passage d’un des chasseurs !)

c. On note ௡ = ௡ − .

Montrez que (௡) est géométrique.

En déduire ௡ en fonction de et de ଴.

d. Au petit matin, le tas d’or s’était réduit à 1020 pièces, mais combien y en

avait-il au départ ?

5. Pour préparer les longues soirées d’hiver, un villageois a coupé des rondins de

bois de même diamètre puis les a entreposé comme ci-dessous :
Pyramides : 1 boules sur 2 boules sur 3 boules

a. Le nombre de rondins entreposés était un des entiers ci-dessous. Lequel ?

Justifiez.

100. b. 120 c. 130 d. 155.

b. Les rondins ont 10cm de rayon. On note ℎ௡ la distance en cm entre le centre

d’un rondin situé à l’étage et le sol. Ainsi, ℎଵ = 10.

Justifiez que (ℎ௡) est une suite arithmétique dont vous préciserez le premier

terme et la raison. En déduire la auteur du tas de bois.​