On peut encore généraliser ce procédé de la manière suivante. Étant donné un message, découpons le en tranches de longueur | donnée, par exemple pour commencer | = 2. Le mot MATHEMATIQUE est ainsi scindé en
MA TH EM AT IQ UE
Choisissons une matrice de nombres entiers A = (a b)
(c d)
et un couple (x0 ; y0) d'entiers. Si (x; y) est le codage
d'un groupe de deux lettres, par exemple (12; 0) pour MA, on lui fait correspondre le couple (ax + by + x0 (mod 26); cx + dy + y0(mod 26)).
On obtient ainsi un cryptage de chaque bloc de longueur 2 donc un cryptage de tout le message.
Là encore on ne peut pas choisir n'importe quelle matrice, sans quoi le cryptage peut être ambigu.
1. Montrer que ce type de cryptage est possible (sans ambiguïté) si, et seulement si, les nombres entiers
a; b; c; d sont tels que ad - bc est premier avec 26.
2. On choisit a = 1; b = c = 0; d = 1 et x0 = 3; y0= 14. Crypter le mot MATHEMATIQUE. A quel
procédé déjà rencontré ce cryptage correspond-il ?
3. On choisit cette fois a = 4; b = 5; c = 1; d = 2 et x0 = Y0 = 0. Crypter à nouveau le mot MATHEMATIQUE puis décrypter le mot GVICKRCO.
On peut généraliser ce procédé à un découpage en tranches de longueur l supérieure ou égale à 3.
Ce procédé consistant à "multiplier" des tranches de longueur ldu message par une matrice à coefficients entiers de taille l x l, dont le déterminant est un entier premier avec le nombre de lettres de l'alphabet utilisé (ici 26), date des années 1930 et est dû à Lester Hill.
