Répondre :
-Montrer que si un entier naturel n est pair alors n² est pair.
n pair
donc n=2k
donc n²=4k²
donc n²=2(2k²)
donc n² pair
-Montrer que si un entier naturel n est impair alors n² est impair.
n impair
donc n=2k+1
donc n²=(2k+1)²
donc n²=4k²+4k+1
donc n²=2(2k²+2k)+1
donc n²=2k'+1
donc n² impair
-Montrer que pour tout entier naturel n, l'entier n(n²+3) est pair .
si n pair alors n=2k
donc n²+3=4k²+3
donc n(n²+3)=2k(4k²+3)
donc n(n²+3)=2k"
donc n(n²+3) pair
si n impair alors n=2k+1
donc n²=4k²+4k+1
donc n²+3=4k²+4k+4
donc n(n²+3)=4(2k+1)(k²+k+1)
donc n(n²+3)=4k'''
donc n(n²+3) pair
1) si n est pair alors n=2k
n^2=(2k)^2=4k=2(2k) qui est pair.
2) si n est impair alors n=2k+1
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 qui est impair.
3) si n est pair, n(n^2+3)=2k(4k^2+3)=8k^3+6k=2(4k^3+3k) qui est pair.
Si n est impair, n(n^2+3)=(2k+1)((2k+1)^2+3)=(2k+1)(4k^2+4k+1+3)=(2k+1)(4k^2+4k+4)=8k^3+8k^2+8k+4k^2+4k+4=8k^3+12k^2+12k+4=2(4k^3+6k^2+6k+2) qui est pair.
Donc quelque soit n, n(n^2+3) est pair.
n^2=(2k)^2=4k=2(2k) qui est pair.
2) si n est impair alors n=2k+1
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1 qui est impair.
3) si n est pair, n(n^2+3)=2k(4k^2+3)=8k^3+6k=2(4k^3+3k) qui est pair.
Si n est impair, n(n^2+3)=(2k+1)((2k+1)^2+3)=(2k+1)(4k^2+4k+1+3)=(2k+1)(4k^2+4k+4)=8k^3+8k^2+8k+4k^2+4k+4=8k^3+12k^2+12k+4=2(4k^3+6k^2+6k+2) qui est pair.
Donc quelque soit n, n(n^2+3) est pair.