f(x)=xln(x)-1
1) a) lim(x),+∞)=+∞ et lim(ln(x),+∞)=+∞ donc par produit lim(f(x),+∞)=+∞
b) on pose le changement de variables : X=1/x donc
f(x)=f(1/X)=1/Xln(1/X)-1=-1/X*ln(X)-1
lim(f(x),0+)=lim(f(X),+∞)=0-1=-1
2) f est dérivable sur ]0;+∞[
f'(x)=1*ln(x)+x*1/x
=ln(x)+1
f'(x)=0 si x=1/e
f'(x)<0 si x<1/e
f'(x)>0 si x<1/e
donc f est décroissante sur ]0;1/e] et croissante sur [1/e;+∞[
3) a) On applique le th des valeurs intermédiaires :
* f est strict croissante sur [1;2]
* f est continue sur [1;2]
* f(1)=-1<0 et f(2)≈0,38>0
donc l'équation f(x)=0 possède une unique solution α ∈ [1;2]
b) on applique l'algorithme de convergence de Newton
ainsi α ≈ 1,763 à 0,001 pres
4) d'apres le tableau de variation de f et du 3) on obtient le signe de f(x) :
* f(x)=0 si x=α
* f(x)<0 si x<α
* f(x)>0 si x>α
5) f(α)=0 donc α*ln(α)-1=0
donc α*ln(α)=1
donc ln(α)=1/α