résolu

Bonjour, je dois réaliser cet exercice mais  je n'y arrive pas:

 

On considère la fonction f définie sur R par: [tex]f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}[/tex]

 

a) Montrer que f est impaire, c'est a dire que pour tout réel x, f(-x)= -f(x)

 

b) Calculer f(x) pour toutes les valeurs x de l'ensemble [tex]0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,3,4,5,6[/tex]

 

 

c)Pouvez-vous faire l'hypothese d'un maximum de f sur [0;+∞ [ ? Vérifiez-la par le calcul

 

d) Etudier les variations de f sur  [0;1], puis sur  [1;+∞ [

 

e) Dresser son tableau de variations puis esquisser au mieux sa representation graphique

 

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait 

Merci

 

Répondre :

On considère la fonction f définie sur R par: 

 

a) Montrer que f est impaire, c'est a dire que pour tout réel x, f(-x)= -f(x)

f(-x)=(-x)/(1+(-x)²)

      =-x/(1+x²)

      =-f(x)

donc f est imapire sur IR

 

b) Calculer f(x) pour toutes les valeurs x de l'ensemble 

 il faut utiliser une table de valeurs

(cf calculatrice)

 

c)Pouvez-vous faire l'hypothese d'un maximum de f sur [0;+∞ [ ? Vérifiez-la par le calcul

f possède un maximum en 1/2

ce maximum est atteint pour x=1

 

vérification

f(x)=x/(1+x²)

f(1)=1/2

or (1-x)² > 0

donc 1-2x+x² >0

donc 1+x² > 2x

donc x/(1+x²) < 1/2

donc f(x) < 1/2

 

d) Etudier les variations de f sur  [0;1], puis sur  [1;+∞ [

 * f est décroissante si x<-1

* f est croissante si -1 < x < 1

*  f est décroissante s X >1

 

e) Dresser son tableau de variations puis esquisser au mieux sa representation graphique

graphique laissé au lecteur........

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