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Bonjour,
Pour les équations du second degré, il faut (en général) factoriser, éventuellement en utilisant une identité remarquable, puis utiliser la règle du produit nul :
a)[tex]x^2-16 = 0\\ x^2-4^2= 0\\ \left(x+4\right)\left(x-4\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
x+4 = 0
x = -4
OU x -4 = 0
x = 4
[tex]S = \left\{-4 ; 4\right\}[/tex]
b)[tex]\left(x+1\right)^2-9 = 0\\ \left(x+1\right)^2-3^2 = 0\\ \left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right)-3\right] = 0\\ \left(x+4\right)\left(x-1\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul
Donc :
x+4 = 0
x = -4
OU
x-2 = 0
x=2
[tex]S = \left\{-4 ; 2\right\}[/tex]
c)
On met x en facteur :
[tex]7x^2+2x = x\left(7x+2\right)[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul
Donc :
x = 0
OU
[tex]7x+2 = 0\\ 7x = -2\\ x = -\frac 27[/tex]
[tex]S = \left\{-\frac 27 ; 0\right\}[/tex]
d)Déjà factorisé.
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Donc :
-7 = 0 (jamais vrai) OU
x+1 = 0
x = -1 OU
[tex]2x+3 = 0\\ 2x = -3\\ x = -\frac 32[/tex]
[tex]S = \left\{-1 ; -\frac 32\right\}[/tex]
e) C'est plus subtil, puisque cette fois-ci, il ne faut pas factoriser.
On fait plutôt :
[tex]-3x^2-4 = 0\\ -3x^2 = 4\\ x^2 = -\frac 43[/tex]
Or, un carré est toujours positif.
Donc pas de solution et on écrit :
[tex]S = \emptyset[/tex]
2)On sait qu'un triangle est rectangle si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres (réciproque du théorème de Pythagore).
n+1 est le plus long côté de ce triangle.
On cherche à prouver qu'il existe (au moins) un nombre n tel que :
[tex]\left(n+1\right)^2 = \left(n-1\right)^2+n^2\\ n^2+2n+1 = n^2-2n+1+n^2\\ n^2+2n+1 = 2n^2-2n+1\\ n^2+2n = 2n^2-2n\\ n^2 -4n = 0\\ n\left(n-4\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
n = 0 OU
n-4 = 0
n = 4
[tex]S = \left\{0 ; 4\right\}[/tex]
Si n = 0, alors les longueurs des côtés du triangle rectangle seraient -1, 0 et 1. Une longueur est toujours positive, donc ce n'est pas possible.
Si n=4, alors les longueurs des côtés du triangle rectangle sont 3, 4 et 5.
On vérifie :
5² = 25
3²+4² = 9+16 = 25.
Donc, ce triangle est rectangle.
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
Pour les équations du second degré, il faut (en général) factoriser, éventuellement en utilisant une identité remarquable, puis utiliser la règle du produit nul :
a)[tex]x^2-16 = 0\\ x^2-4^2= 0\\ \left(x+4\right)\left(x-4\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
x+4 = 0
x = -4
OU x -4 = 0
x = 4
[tex]S = \left\{-4 ; 4\right\}[/tex]
b)[tex]\left(x+1\right)^2-9 = 0\\ \left(x+1\right)^2-3^2 = 0\\ \left[\left(x+1\right)+3\right]\left[\left(x+1\right)-3\right] = 0\\ \left(x+4\right)\left(x-1\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul
Donc :
x+4 = 0
x = -4
OU
x-2 = 0
x=2
[tex]S = \left\{-4 ; 2\right\}[/tex]
c)
On met x en facteur :
[tex]7x^2+2x = x\left(7x+2\right)[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul
Donc :
x = 0
OU
[tex]7x+2 = 0\\ 7x = -2\\ x = -\frac 27[/tex]
[tex]S = \left\{-\frac 27 ; 0\right\}[/tex]
d)Déjà factorisé.
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Donc :
-7 = 0 (jamais vrai) OU
x+1 = 0
x = -1 OU
[tex]2x+3 = 0\\ 2x = -3\\ x = -\frac 32[/tex]
[tex]S = \left\{-1 ; -\frac 32\right\}[/tex]
e) C'est plus subtil, puisque cette fois-ci, il ne faut pas factoriser.
On fait plutôt :
[tex]-3x^2-4 = 0\\ -3x^2 = 4\\ x^2 = -\frac 43[/tex]
Or, un carré est toujours positif.
Donc pas de solution et on écrit :
[tex]S = \emptyset[/tex]
2)On sait qu'un triangle est rectangle si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres (réciproque du théorème de Pythagore).
n+1 est le plus long côté de ce triangle.
On cherche à prouver qu'il existe (au moins) un nombre n tel que :
[tex]\left(n+1\right)^2 = \left(n-1\right)^2+n^2\\ n^2+2n+1 = n^2-2n+1+n^2\\ n^2+2n+1 = 2n^2-2n+1\\ n^2+2n = 2n^2-2n\\ n^2 -4n = 0\\ n\left(n-4\right) = 0[/tex]
Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
n = 0 OU
n-4 = 0
n = 4
[tex]S = \left\{0 ; 4\right\}[/tex]
Si n = 0, alors les longueurs des côtés du triangle rectangle seraient -1, 0 et 1. Une longueur est toujours positive, donc ce n'est pas possible.
Si n=4, alors les longueurs des côtés du triangle rectangle sont 3, 4 et 5.
On vérifie :
5² = 25
3²+4² = 9+16 = 25.
Donc, ce triangle est rectangle.
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.