Répondre :
Démontrer que pour tout entier naturel non nul : est un multiple de 7
Initialisation :
Pour n = 0, = 2^{3n} -1 = 2^0 -1 = 1-1 = 0
0 est un multiple de 7 donc cette propriété est vraie au rang n = 0.
Hypothèse de récurrence :
Supposons que est un multiple de 7 et démontrons cette propriété au rang n+1.
2^{3(n+1)} -1 = 2^{3n} * 2^3 -1
= 2^{3n} *8 -1
= 2^{3n} *(7+1) -1
= 2^{3n} *7 + 2^{3n} -1
Par hypothèse de récurrence, 2^{3n} -1 est un multiple de 7 et 2^{3n} *7 est aussi un multiple de 7.
Conclusion :
Par récurrence, pour tout entier naturel n, 2^{3n} -1 est un multiple de 7.
Initialisation :
Pour n = 0, = 2^{3n} -1 = 2^0 -1 = 1-1 = 0
0 est un multiple de 7 donc cette propriété est vraie au rang n = 0.
Hypothèse de récurrence :
Supposons que est un multiple de 7 et démontrons cette propriété au rang n+1.
2^{3(n+1)} -1 = 2^{3n} * 2^3 -1
= 2^{3n} *8 -1
= 2^{3n} *(7+1) -1
= 2^{3n} *7 + 2^{3n} -1
Par hypothèse de récurrence, 2^{3n} -1 est un multiple de 7 et 2^{3n} *7 est aussi un multiple de 7.
Conclusion :
Par récurrence, pour tout entier naturel n, 2^{3n} -1 est un multiple de 7.