résolu

Bonjour tout le monde ! J'ai quelques petites lacunes avec mon dm de mathématiques que je dois rendre lundi ... si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa ! L'énoncé est le suivant:
On appelle f la fonction définie par f(x)= 2x+1/ x^2+2
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;i;j)
1-Résoudre dans R l'équation x^2+2=0 En déduire l'ensemble de définition de f.
2-Etude des variations de f
a- On note f ' la fonction dérivée de f. Démontrer que f ' (x)= -2x^2-2x+4 / (x^2+2)^2
b- Etudier le signe de f ' (x) puis en déduire le tableau des variations de f sur R.
3-Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0.
4-Dans un repère, tracer T, les tangentes horizontales puis la courbe C
Merci d'avance et bonne journée à tous !

Répondre :

1 - Pour tout x réel x²>ou égal à 0
x² + 2 > 0 donc l'équation n'admet pas de solution dans R.
Le dénominateur de l'expression de f ne s'annule jamais donc l'ensemble de définition de f est l'ensemble R

2- a On calcule f'(x) qui est de la forme u/v.
La fonction est dérivable sur R
dérivée:(u'v - v' u) /v²
On trouve aisément le résultat proposé dans l'énoncé

2-  Pour tout x réel x²+ 2 > 0 donc f'(x) a le même signe que le numérateur qui est un trinôme du second dégré.
On calcule delta on trouve 36.
Le trinôme admet deux racines.
x1 = -2 et x2 = 1
Le trinôme est du signe de a (donc négatif) pour les valeurs extérieures aux racines
f'(x) > 0 sur l'intervalle ouvert  - 2 ; 1 f croissante sur cet intervalle
f'(x) < 0 sur - l'infini ; -2 et sur 1 ; + l'infini . f décroissante sur chacun de ces intervalles
La fonction dérivée s'annule en -2 et +1. La fonction admet des extremums relatifs en chacun de ces points. La tangente à la courbe en ces points est horizontale.
On les tracera au 4

3 - équation de la tangente:
y = f ' (0) ( x - 0 ) + f(0)
Je vous laisse faire le calcul qui est simple.

Bon courage

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