Bonjour,
Comme c'est une fonction du second degré, l'objectif est, à chaque fois, de rendre nul le membre de droite en faisant passer à gauche d'éventuels termes non nuls, puis de factoriser le membre de gauche pour appliquer la règle du produit nul.
Pour (-6), on résout (x+2)² - 9 = -6 :
[tex]\left(x+2\right)^2-9 = -6\\
\left(x+2\right)^2 -9+6 = 0\\
\left(x+2\right)^2 -3 = 0\\
\left(x+2\right)^2 - \left(\sqrt 3\right)^2 = 0\\
\left(x+2+\sqrt 3\right)\left(x+2-\sqrt 3\right) = 0\\[/tex]
Un produit est nul si l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
[tex]x+2+\sqrt 3 = 0\\
x = -2-\sqrt 3\\
\text{ OU}\\
x+2-\sqrt 3 = 0\\
x = -2+\sqrt 3[/tex]
Ces deux valeurs de x sont les antécédents de (-6) par f.
Pour (-9) :
[tex]\left(x+2\right)^2 -9 = -9\\
\left(x+2\right)^2 = 0[/tex]
On en déduit que x+2 = 0 et x = -2 ; -2 est l'unique antécédent de -9 par f.
Pour 0 :
On factorise le membre de gauche (en utilisant a²-b² = (a+b)(a-b)) :
[tex]\left(x+2\right)^2-9 = 0\\
\left(x+2\right)^2-3^2 = 0\\
\left(x+2+3\right)\left(x+2-3\right) = 0\\
\left(x+5\right)\left(x-1\right) = 0[/tex]
Donc :
x+5 = 0
x = -5
OU
x-1 = 0
x = 1.
Les antécédents de 0 par f sont (-5) et 1.
Si tu as des questions, n'hésite pas à les ajouter en commentaire.
