résolu

soit f la fonction définie sur R/ (3) par: f(x)=x2-5x+5/(x-3) on souhaite étudier la position de la courbe C représentant f par rapport a la droite d d'équation y=x-2 a)étudier le signe de f(x)-(x-2) b) en déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite d c) décrire la façon dont évolue la valeur f(x)-(x-2) lorsque x devient grand(on pourra faire les calculs pour x=(10)2, x=(10)3,x=(10)6, etc). interpréter géométriquement ce phénomène

Répondre :

soit f la fonction définie sur R/ (3) par: f(x)=(x²-5x+5)/(x-3)

on souhaite étudier la position de la courbe C représentant f par rapport a la droite d d'équation y=x-2

a)étudier le signe de f(x)-(x-2)
f(x)=(x²-5x+5)/(x-3) -x+2
     =((x-3)(x-2)-1)/(x-3)-x+2
     =(x-3)(x-2)/(x-3)-x+2-1/(x-3)
     =x-2-x+2-1/(x-3)
     =-1/(x-3)
   
si x<3 alors f(x)-(x-2)>0
si x>3 alors f(x)-(x-2)<0

b) en déduire les positions relatives de la courbe C et de la droite d
si x<3 alors Cf est au-dessus de (d)
si x>3 alors Cf est en-dessous de (d)

c) décrire la façon dont évolue la valeur f(x)-(x-2) lorsque x devient grand
interpréter géométriquement
lim(f(x)-(x-2))
=lim(-1/(x-3))
=0

donc (d) : y=x-2 est asymptote oblique à Cf au voisinage de -inf et de +inf




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