résolu

DM de maths urgent please 

Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points :
A(1;0)    ;     B([tex]1+ \sqrt{ \frac{3}{2} } [/tex]; [tex] \frac{1}{2} [/tex])    ;  C([tex] \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3} }{2} [/tex])

1. Démontrer que (A,B,C) est un repère orthonormé
2. Démontrer les coordonnées de A, B, et C dans le repère (A,B,C) 

Exercice 2
On considère les points A(-3;-1), B(-2;2), C(3;-3) dans un repère orthonormé du plan 

1.Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A
2.Déterminer les coordonnées du point H, centre du cercle circonscrit au triangle ABC
Calculer le rayon de ce cercle.

Exercice 3
On considère un repère orthonormé du plan et les points : A(-2;1), T(1;6), R(3;3), E(0;-2)

1. Montrer que le quadrilatère ARTE est un parallélogramme.
2. Déterminer les coordonnées du point P tel que RPTE soit un parallélogramme.
3. Déterminer les coordonnées du point S sachant que T est le milieu du segment [es]

Répondre :

Exercice 1)
Prenons pour convention rc(x) la racine carrée de x .
Une erreur s'est glissée dans l'énoncé, Il s'agit de B(1 + rc(3)/2;1/2) et non B(1 + rc(3/2);1/2)
1) Pour montrer que (A;AB;AC) et non (A;B;C), est un repère orthonormé , il faut montrer que les vecteurs AB et AC sont perpendiculaires, et que leur norme est égale à 1.
On a AB(1 + rc(3)/2 - 1;1/2 - 0) = AB(rc(3)/2 ; 1/2) dont la norme au carré est : (rc(3)/2)^2 + (1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1 , donc la norme de AB(rc(3)/2 ; 1/2) = 1.
On a aussi AC(1/2 - 1 ; rc(3)/2) = AC(- 1/2 ; rc(3)/2) , dont la norme au carré est : (- 1/2)^2 + (rc(3)/2))^2 = 1/4 + 3/4 = 1 , donc la norme de AC(- 1/2 ; rc(3)/2) = 1 . Donc le repère (A;AB;AC) est normé .
On a aussi le produit scalaire de AB(rc(3)/2 ; 1/2) et AC(- 1/2 ; rc(3)/2) = - rc(3)/4 +  rc(3)/4 = 0 , donc AB(rc(3)/2 ; 1/2) et AC(- 1/2 ; rc(3)/2) sont orthogonaux , donc le repère (A;AB;AC) est orthonormé . 2) les coordonnées de A, B et C dans (A ;AB ;AC) sont comme suit : A(0 ;0) , B(rc(3)/2 ; 1/2) et C(- 1/2 ; rc(3)/2)

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