Exercice : Une aire maximale 

 

ABC est un triangle isocèle en A avec :

 AB = AC = 10cm

H est le pied de la hauteur issue de A

 

On se propose d'étudier les variations de l'aire du triangle lorsqu'on fait varier la longueur x (en cm) du côté BC

 

A. Découverte d'une fonction

 

2. a) Calculer la valeur exacte de l'aire ABC lorsque [tex]x[/tex]=5, puis lorsque [tex]x[/tex]=10.

b) Peut-on avoir [tex]x[/tex]=30 ? Pourquoi ? Dans  quel intervalle varie [tex]x[/tex] ? 

 

3. a) Exprimer AH en fonction de [tex]x[/tex].

b) On désigne par [tex]f(x)[/tex] l'aire de ABC

Démontrer que [tex]f(x)[/tex]   [tex]f(x) =\frac{x}{4}\sqrt{400-x^{2}}[/tex]

 

c) Calculer [tex]f(x)[/tex] pour chacune des valeurs entières de [tex]x[/tex] comprises dans l'intervalle (0 ; 20) :arrondir les résultats au dixième et les présenter dans un tableau (Utiliser la calculatrice) 

d) Dans un repère orthogonal bien choisi, placer les points de coordonnées [tex](x ; f(x))[/tex]du tableau précédent. Donner alors l'allure de la courbe représentant [tex]f[/tex]

 

B. Recherche de l'aire maximale 

 

La fonction [tex]f[/tex] admet un maximum pour une valeur [tex]x0[/tex]

2. a )Encadrer [tex]x0[/tex] par deux entiers consécutifs.

b) Recopier et compléter ce tableau (en s'aidant de la calculatrice) :

 

[tex]x[/tex]

14,1

14,11

14 ,12

14,13

14,14

14,15

14,16

[tex]f(x)[/tex]

 

 

 

 

 

 

 

En déduitre un encardement "plus fin" de [tex]x0[/tex]

 

3. Notons K le pied de la hauteur de ABC issue de B 

a) Démontrer que l'aire de ABC est égale à 5 BK.

b) Quelle est la nature du triangle ABC lorsque la longueur BK est maximale ? 

c) En déduire la valeur exacte de [tex]x0[/tex]