Répondre :
Bonjour,
La suite Un est la somme de n termes d'une suite géométrique de premier terme 1/3 et de raison 1/3.
En appliquant la formule de la somme des n termes, nous avons :
[tex]U_n=\frac{1}{3}\times \dfrac{1-(\frac{1}{3})^n}{1-\frac{1}{3}}\\\\U_n=\frac{1}{3}\times \dfrac{1-(\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}}\\\\U_n=\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{3})^n][/tex]
Or [tex]\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{3})^n=0[/tex]
Donc [tex]\lim_{n\to +\infty}U_n=\dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}[/tex].
La suite Un converge vers 1/2.
La suite est croissante puisque [tex]U_{n+1}-U_n=(\dfrac{1}{3})^{n+1}>0[/tex]
La suite Un est la somme de n termes d'une suite géométrique de premier terme 1/3 et de raison 1/3.
En appliquant la formule de la somme des n termes, nous avons :
[tex]U_n=\frac{1}{3}\times \dfrac{1-(\frac{1}{3})^n}{1-\frac{1}{3}}\\\\U_n=\frac{1}{3}\times \dfrac{1-(\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}}\\\\U_n=\frac{1}{2}[1-(\frac{1}{3})^n][/tex]
Or [tex]\lim_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{3})^n=0[/tex]
Donc [tex]\lim_{n\to +\infty}U_n=\dfrac{1}{2}(1-0)=\dfrac{1}{2}[/tex].
La suite Un converge vers 1/2.
La suite est croissante puisque [tex]U_{n+1}-U_n=(\dfrac{1}{3})^{n+1}>0[/tex]