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Bonjour,
1) [tex]u_1=4\ ;\ u_2\approx 3,16\ ;\ u_3\approx 3,03[/tex]
2) [tex]u_n>3\Longrightarrow u_n+6>9[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>\sqrt{9}[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>3[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow u_{n+1}>3[/tex]
La déduction est évidente par récurrence.
3) [tex]u_{n+1}-3=\sqrt{u_n+6}-3[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{(\sqrt{u_n+6}-3)(\sqrt{u_n+6}+3)}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{u_n+6-9}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
Or
[tex]\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}+3>6\\\\\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{1}{6}[/tex]
Sachant que [tex]u_n-3>0[/tex], nous pouvons en déduire que
[tex]\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
soit que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
4) [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
Donc [tex]u_n-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6}[/tex]
On en déduit que : [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6^2}[/tex]
Sachant que [tex]u_{n-1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6}[/tex], on en déduirait que
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6^3}[/tex]
Par itération, nous déduirons donc que
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-n}-3}{6^{n+1}}[/tex],
soit que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{0}-3}{6^{n+1}}[/tex]
ou encore que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{10-3}{6^{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{7}{6^{n+1}}[/tex]
Par conséquent, [tex]u_n-3<\dfrac{7}{6^n}[/tex].
De ce qui précède, nous pouvons alors dire que : [tex]0<u_n-3<\dfrac{7}{6^n}[/tex].
5) Sachant que [tex]lim_{n\to+\infty}(\dfrac{7}{6^n})=0[/tex], par le passage à la limite et en utilisant le théorème des gendarmes, nous déduisons que [tex]lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0[/tex], soit que [tex]lim_{n\to+\infty}\ u_n=3[/tex]
1) [tex]u_1=4\ ;\ u_2\approx 3,16\ ;\ u_3\approx 3,03[/tex]
2) [tex]u_n>3\Longrightarrow u_n+6>9[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>\sqrt{9}[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}>3[/tex]
[tex]u_n>3\Longrightarrow u_{n+1}>3[/tex]
La déduction est évidente par récurrence.
3) [tex]u_{n+1}-3=\sqrt{u_n+6}-3[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{(\sqrt{u_n+6}-3)(\sqrt{u_n+6}+3)}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{u_n+6-9}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}[/tex]
Or
[tex]\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \sqrt{u_n+6}+3>6\\\\\sqrt{u_n+6}>3\Longrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{1}{6}[/tex]
Sachant que [tex]u_n-3>0[/tex], nous pouvons en déduire que
[tex]\dfrac{u_n-3}{\sqrt{u_n+6}+3}<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
soit que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
4) [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_n-3}{6}[/tex]
Donc [tex]u_n-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6}[/tex]
On en déduit que : [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-1}-3}{6^2}[/tex]
Sachant que [tex]u_{n-1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6}[/tex], on en déduirait que
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-2}-3}{6^3}[/tex]
Par itération, nous déduirons donc que
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{n-n}-3}{6^{n+1}}[/tex],
soit que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{u_{0}-3}{6^{n+1}}[/tex]
ou encore que [tex]u_{n+1}-3<\dfrac{10-3}{6^{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}-3<\dfrac{7}{6^{n+1}}[/tex]
Par conséquent, [tex]u_n-3<\dfrac{7}{6^n}[/tex].
De ce qui précède, nous pouvons alors dire que : [tex]0<u_n-3<\dfrac{7}{6^n}[/tex].
5) Sachant que [tex]lim_{n\to+\infty}(\dfrac{7}{6^n})=0[/tex], par le passage à la limite et en utilisant le théorème des gendarmes, nous déduisons que [tex]lim_{n\to+\infty}(u_n-3)=0[/tex], soit que [tex]lim_{n\to+\infty}\ u_n=3[/tex]