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Bonjour,
1) [tex]u_n>0[/tex] car une exponentielle est toujours positive.
*************
Pour démontrer que [tex]u_n<u_{n+1}[/tex], prenons la fonction f définie par [tex]f(x)=e^{2x-2}[/tex].
Cette fonction est strictement croissante sur R puisque l'on a : [tex]f'(x)=2e^{2x-2}>0[/tex].
Démontrons par récurrence que [tex]u_n<u_{n+1}[/tex].
a) Initialisation : [tex]u_0<u_1\ \ car\ \ u_0=0\ \ et\ \ u_1\approx 0,13[/tex]
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si [tex]u_n<u_{n+1}[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}<u_{n+2}[/tex].
En effet :
[tex]u_{n+1}=e^{2u_n-2}[/tex]
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
Or [tex]u_n<u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)<f(u_{n+1})[/tex] puisque f est strictement croissante.
Nous avons ainsi : [tex]u_{n+1}=f(u_n)<f(u_{n+1})=u_{n+2}[/tex].
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : [tex]u_n<u_{n+1}[/tex].
*************
Démontrons par récurrence que [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
a) Initialisation : [tex]u_0<0,5\ \ car\ \ u_0=0<0,5[/tex]
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si [tex]u_n<0,5[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
En effet :
[tex]u_{n+1}=e^{2u_n-2}[/tex]
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
Or [tex]u_n<0,5\Longrightarrow f(u_n)<f(0,5)[/tex] puisque f est strictement croissante.
Nous avons ainsi : [tex]u_{n+1}=f(u_n)<f(0,5)\approx 0,36 < 0,5[/tex].
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
*************
2) La suite [tex](u_n)[/tex] est croissante et majorée par 0.5,
Elle est donc convergente.
*************
3) La limite L se trouve en résolvant l'équation : [tex]L=e^{2L-2}[/tex], soit l'équation [tex]e^{2L-2}-L=0[/tex]
En utilisant la calculatrice pour connaître les racines de la fonction définie par [tex]g(x)=e^{2x-2}-x[/tex], nous trouvons les racines 0,20318787... et 1.
Nous ne prendrons que la racine inférieure à 0,5.
Par conséquent : [tex]L\approx0,20318787[/tex]
1) [tex]u_n>0[/tex] car une exponentielle est toujours positive.
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Pour démontrer que [tex]u_n<u_{n+1}[/tex], prenons la fonction f définie par [tex]f(x)=e^{2x-2}[/tex].
Cette fonction est strictement croissante sur R puisque l'on a : [tex]f'(x)=2e^{2x-2}>0[/tex].
Démontrons par récurrence que [tex]u_n<u_{n+1}[/tex].
a) Initialisation : [tex]u_0<u_1\ \ car\ \ u_0=0\ \ et\ \ u_1\approx 0,13[/tex]
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si [tex]u_n<u_{n+1}[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}<u_{n+2}[/tex].
En effet :
[tex]u_{n+1}=e^{2u_n-2}[/tex]
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
Or [tex]u_n<u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)<f(u_{n+1})[/tex] puisque f est strictement croissante.
Nous avons ainsi : [tex]u_{n+1}=f(u_n)<f(u_{n+1})=u_{n+2}[/tex].
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : [tex]u_n<u_{n+1}[/tex].
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Démontrons par récurrence que [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
a) Initialisation : [tex]u_0<0,5\ \ car\ \ u_0=0<0,5[/tex]
b) Hérédité : Pour tout n ≥ 0, si [tex]u_n<0,5[/tex], alors montrons que [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
En effet :
[tex]u_{n+1}=e^{2u_n-2}[/tex]
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
Or [tex]u_n<0,5\Longrightarrow f(u_n)<f(0,5)[/tex] puisque f est strictement croissante.
Nous avons ainsi : [tex]u_{n+1}=f(u_n)<f(0,5)\approx 0,36 < 0,5[/tex].
L'hérédité est démontrée.
D'où la récurrence a démontré que : [tex]u_{n+1}<0,5[/tex].
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2) La suite [tex](u_n)[/tex] est croissante et majorée par 0.5,
Elle est donc convergente.
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3) La limite L se trouve en résolvant l'équation : [tex]L=e^{2L-2}[/tex], soit l'équation [tex]e^{2L-2}-L=0[/tex]
En utilisant la calculatrice pour connaître les racines de la fonction définie par [tex]g(x)=e^{2x-2}-x[/tex], nous trouvons les racines 0,20318787... et 1.
Nous ne prendrons que la racine inférieure à 0,5.
Par conséquent : [tex]L\approx0,20318787[/tex]