résolu

Niveau terminale S

Je bloque sur des questions de mon dm de maths.

f(x) = (x^3 - x² + 3x + 5)/( x² + 3) noté T
On considère la droite D d'équation y = x - 1. Etudier la position relative de T et de D. (réussi). Démontrer que lim[(f(x)-(x-1)] = 0 quand x tend vers - l'infini et + l'infini. (Le fait de calculer les limites est-ce considérer comme une démonstration?). Interpréter graphiquement (je ne vois pas quoi dire)

Démontrer qu'il existe un point A et un seul de T en lequel la tangente est parallèle à D. (Je sais qu'il faut que les deux droites aient le même coefficient directeur mais comment affirmer qu'il en existe un seul ?)

Trouver le nombre de solution(s) de f(x) = 0. (réussi). Localiser ces solutions (c'est-à-dire?). Leur existence sera soigneusement justifié par des théorèmes de cours.

L'affirmation ; "Pour tout k réel , l'équation f(x) = k admet une unique solution" est elle vraie ou fausse ? Justifier. (Comment justifier?)


Merci d'avance

Répondre :

danielwenin
en divisant le numérateur par le dénominateur tu obtiens une forme intéressante de la fonction 
x³ - x² + 3x + 5 |x² + 3    
-x³       -3x          x  - 1 
 -------------
      -x²        + 5   
       x²          +3
 --------------------        
                     8 
 f(x) = x-1 + 8/(x² + 3)  donc lim(f(x) - (x-1) ) = lim8/(x² + 3)  = 0 pour tendant vers = ou - infini. Cela veut dire que la différence entre la droit y = x - 1 et la courbe de f(x) tend vers 0 quand le pt s'éloigne indéfiniment sur la courbe. C'est la définition d'une asymptote. La courbe "suit" la droite.
la dérivée donne la pente des tangentes en tout point de la courbe.
f'(x) = 1 - 16x/(x²+3)² en prenant le 2e forme de la fonction
Tu cherches un point où la pente de la tangente = 1 
donc  1 - 16x/(x²+3)² = 1 ou -16x/(x²+3)² = 0 le seul point possible est pour x = 0 c'est la seule racine.
localiser les racines c'est dire où elle se trouvent par rapport aux parties de la courbe.
pour les solutions  (1) il est évident qu'il n 'y en a qu'une puisque la fonction (numérateur) varie de -infini à l'infini en ne rencontrant l'axe des x une seule fois.
pour le dernier je ne vois pas bien cela vient à résoudre l'équation
 x³ -(1+k)x² +3x + 5 -3k = 0  quid???

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