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Bonsoir,
Calculons [tex]S_n=1+2+3+...+n [/tex]
On sait que [tex](1+x)^2 = 1 + 2\times x + x^2[/tex]
Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
[tex]\left\{\begin{array}l (1+1)^2=1+2\times 1 + 1^2\\(1+2)^2=1+2\times 2 + 2^2\\(1+3)^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n + n^2\end{array}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^2=1+2\times 1 + 1^2\\3^2=1+2\times 2 + 2^2\\4^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n + n^2\end{array}[/tex]
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles.
[tex]2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = (1+1+1+...+1)+(2\times1+2\times2+2\times3+...+2\times n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = (1+1+1+...+1)+2(1+2+3+...+n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = n+2\times S_n+1^2+2^2+3^2+...+n^2[/tex]
Soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
[tex](1+n)^2 = n+2\times S_n+1^2\\(1+n)^2 = 2\times S_n+(n+1)\\2S_n=(1+n)^2-(n+1)\\2S_n=(1+n)\times[(1+n)-1]\\2S_n=(1+n)\times n\\S_n = \dfrac{(1+n)\times n}{2}\\\boxed{1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}[/tex]
*************************************************************************************
Calculons [tex] T_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2[/tex]
[tex](1+x)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times x + 3\times 1\times x^2+x^3[/tex]
Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
[tex]\left\{\begin{array}l (1+1)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 1 + 3\times 1\times 1^2+1^3\\(1+2)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 2 + 3\times 1\times 2^2+2^3\\(1+3)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 3 + 3\times 1\times 3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times n + 3\times 1\times n^2+n^3\end{array}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^3 = 1 + 3\times 1 + 3\times 1^2+1^3\\3^3 = 1 + 3\times 2 + 3\times 2^2+2^3\\4^3 = 1 + 3\times 3 + 3\times 3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1 + 3\times n + 3\times n^2+n^3\end{array} [/tex]
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles, regroupons suivant la même méthode que dans la première partie et soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
Il restera [tex](1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 1\\(1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3\times T_n + 1[/tex]
Or, dans la 1ère partie, nous avons démontré que : [tex] 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Par conséquent, nous avons:
[tex](1+n)^3=n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+3\times T_n + 1\\(1+n)^3=3\times T_n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+n+ 1\\3T_n=(1+n)^3-\dfrac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\\3T_n=(1+n)[(1+n)^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)[1+2n+n^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)(n^2+\dfrac{n}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\3T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{6})\\\boxed{T_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/tex]
Calculons [tex]S_n=1+2+3+...+n [/tex]
On sait que [tex](1+x)^2 = 1 + 2\times x + x^2[/tex]
Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
[tex]\left\{\begin{array}l (1+1)^2=1+2\times 1 + 1^2\\(1+2)^2=1+2\times 2 + 2^2\\(1+3)^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n + n^2\end{array}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^2=1+2\times 1 + 1^2\\3^2=1+2\times 2 + 2^2\\4^2=1+2\times 3 + 3^2\\...\\(1+n)^2=1+2\times n + n^2\end{array}[/tex]
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles.
[tex]2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = (1+1+1+...+1)+(2\times1+2\times2+2\times3+...+2\times n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = (1+1+1+...+1)+2(1+2+3+...+n)+(1^2+2^2+3^2+...+n^2)\\2^2+3^2+4^2+...+(1+n)^2 = n+2\times S_n+1^2+2^2+3^2+...+n^2[/tex]
Soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
[tex](1+n)^2 = n+2\times S_n+1^2\\(1+n)^2 = 2\times S_n+(n+1)\\2S_n=(1+n)^2-(n+1)\\2S_n=(1+n)\times[(1+n)-1]\\2S_n=(1+n)\times n\\S_n = \dfrac{(1+n)\times n}{2}\\\boxed{1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}}[/tex]
*************************************************************************************
Calculons [tex] T_n=1^2+2^2+3^2+...+n^2[/tex]
[tex](1+x)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times x + 3\times 1\times x^2+x^3[/tex]
Dans cette égalité remplaçons x successivement par 1, 2, 3, ... , n.
[tex]\left\{\begin{array}l (1+1)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 1 + 3\times 1\times 1^2+1^3\\(1+2)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 2 + 3\times 1\times 2^2+2^3\\(1+3)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times 3 + 3\times 1\times 3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1^3 + 3\times 1^2\times n + 3\times 1\times n^2+n^3\end{array}[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}l 2^3 = 1 + 3\times 1 + 3\times 1^2+1^3\\3^3 = 1 + 3\times 2 + 3\times 2^2+2^3\\4^3 = 1 + 3\times 3 + 3\times 3^2+3^3\\...\\(1+n)^3 = 1 + 3\times n + 3\times n^2+n^3\end{array} [/tex]
Ajoutons membre à membre ces équations entre elles, regroupons suivant la même méthode que dans la première partie et soustrayons dans chaque membre les termes identiques.
Il restera [tex](1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 1\\(1+n)^3=n+3(1+2+3+...+n)+3\times T_n + 1[/tex]
Or, dans la 1ère partie, nous avons démontré que : [tex] 1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
Par conséquent, nous avons:
[tex](1+n)^3=n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+3\times T_n + 1\\(1+n)^3=3\times T_n+\dfrac{3n(n+1)}{2}+n+ 1\\3T_n=(1+n)^3-\dfrac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\\3T_n=(1+n)[(1+n)^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)[1+2n+n^2-\dfrac{3n}{2}-1]\\3T_n=(1+n)(n^2+\dfrac{n}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\3T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{2})\\3T_n=n(1+n)(n+\dfrac{1}{2})\\T_n=n(1+n)(\dfrac{2n+1}{6})\\\boxed{T_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}[/tex]