Répondre :
1) Pour que racine de f(x) soit définie il faut que x^2+2x+3>=0; delta =-8, donc g(x) est définie pour tout x
par contre h(x) est définie pour x>=0
2) h(x)= x+2racine(x)+3; prenons deux nombres a et b appartenant à [0;+inf[
tels que a<b; racine (a)<racine(b) (la fonction racine carrée est croissante.)
2 racine (a) +3 <2 racine(b) + 3; a+2 racine (a) +3 <b+ 2 racine(b) + 3; donc h(a)<h(b); conclusion a<b donc h(a)<h(b), donc la fonction est strictement croissante.
3) g'(x) = (2x+2)/2racine(x^2+2x+3) ; le dénominateur est toujours positif donc g’(x) est du signe de 2x+2. 2x+2>0 pour x>-1, 2x+2<0 pour x<-1 et g’(x) s’annule en x=-1. Donc g(x) est décroissante de –inf à -1, a un minimum en g(-1)=racine (2), et croissante de -1 a +inf.
par contre h(x) est définie pour x>=0
2) h(x)= x+2racine(x)+3; prenons deux nombres a et b appartenant à [0;+inf[
tels que a<b; racine (a)<racine(b) (la fonction racine carrée est croissante.)
2 racine (a) +3 <2 racine(b) + 3; a+2 racine (a) +3 <b+ 2 racine(b) + 3; donc h(a)<h(b); conclusion a<b donc h(a)<h(b), donc la fonction est strictement croissante.
3) g'(x) = (2x+2)/2racine(x^2+2x+3) ; le dénominateur est toujours positif donc g’(x) est du signe de 2x+2. 2x+2>0 pour x>-1, 2x+2<0 pour x<-1 et g’(x) s’annule en x=-1. Donc g(x) est décroissante de –inf à -1, a un minimum en g(-1)=racine (2), et croissante de -1 a +inf.