résolu

A B C D est un parallélogramme.I est le milieu de [AD] et J le milieu de [BC]. a.Démontre que BJDI est un parallélogramme.
b.Est-il vrai que les droites (BI) et (DJ) divisent la diagonale [AC] en trois parties égales?justifie ta réponse.

Répondre :

Bonsoir,

a) (ID) parallèle à (BJ) car ABCD est un parallélogramme.

Le point I est le milieu de [AD] ==> ID = (1/2) AD
Le point J est le milieu de [BC] ==> BJ = (1/2) BC
Or AD=BC (car ABCD est un parallélogramme)
Donc ID = BJ.

Par conséquent le quadrilatère BJDI contient deux côtés opposés parallèles et ayant la même longueur.
Le quadrilatère BJDI est un parallélogramme.

b) La droite (BI) coupe [AC] en E.
La droite (JD) coupe [AC] en F.

Le quadrilatère BJDI est un parallélogramme ==> (EI) parallèle à (FD)
                                                                ==> (JF) parallèle à (BE)

1) Dans le triangle AFD,  la droite (EI) est parallèle à (FD) et I est le milieu de [AD].
Par la réciproque du théorème des milieux (ou Thalès) , le point E est le milieu de [AF].
D'où  AE = EF

2) Dans le triangle CBE,  la droite (JF) est parallèle à (BE) et J est le milieu de [BC].
Par la réciproque du théorème des milieux (ou Thalès) , le point F est le milieu de [EC].
D'où EF = FC.

Par conséquent : AE = EF = FC.

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