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Bonsoir,
1) z' = 2
[tex]\dfrac{iz}{z-i}=2 \\\\ iz=2(z-i)\\\\iz=2z-2i\\\\iz-2z=-2i\\\\(-2+i)z=-2i\\\\z=\dfrac{-2i}{-2+i}=\dfrac{2i}{2-i}\\\\z=\dfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)}[/tex]
[tex]z=\dfrac{4i-2}{4+1}\\\\z=\dfrac{-2+4i}{5}\\\\z=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}[/tex]
2) z = 2
[tex]z'=\dfrac{2i}{2-i}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}[/tex] (voir fin de l'exercice 1)
3) |z'| = 1
[tex]|\dfrac{iz}{z-i}|=1\\\\\dfrac{|iz|}{|z-i|}=1\\\\|iz|=|z-i|\\\\|i||z|=|z-i|\\\\|z|=|z-i|[/tex]
L'ensemble E1 est l'ensemble des points situés à égales distances du point O d'affixe 0 et du point P d'affixe i(0;1).
Cet ensemble est la médiatrice du segment [OP].
4) [tex]Arg(z')=\dfrac{\pi}{2}[/tex]
z' est un imaginaire pur.
Sa partie réelle est donc nulle.
Posons z = x + iy
[tex]z'=\dfrac{i(x+iy)}{x+iy-i}=\dfrac{ix-y}{x+i(y-1)}=\dfrac{(ix-y)[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}\\\\=\dfrac{ix^2+x(y-1)-xy+y(y-1)i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{xy-x-xy+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}+\dfrac{[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}[/tex]
Si la partie réelle de z' est nulle, alors :
[tex]\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}=0,\ \ soit\ \ x=0[/tex]
L'ensemble E2 est la droite d'équation x = 0 privée du point d'affixe i, soit l'axe des ordonnées privé du point d'affixe i(0;1).
5) z' est un réel.
Donc sa partie imaginaire est nulle.
En utilisant la fin des calculs de l'exercice 4), nous avons :
[tex]\dfrac{[x^2+y(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=0\\\\x^2+y(y-1)=0\\\\x^2+y^2-y=0\\\\x^2+y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}[/tex]
L'ensemble E3 est un cercle de centre (0 ; 1/2) et de rayon 1/2, privé du point d'affixe i (0;1).
1) z' = 2
[tex]\dfrac{iz}{z-i}=2 \\\\ iz=2(z-i)\\\\iz=2z-2i\\\\iz-2z=-2i\\\\(-2+i)z=-2i\\\\z=\dfrac{-2i}{-2+i}=\dfrac{2i}{2-i}\\\\z=\dfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)}[/tex]
[tex]z=\dfrac{4i-2}{4+1}\\\\z=\dfrac{-2+4i}{5}\\\\z=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}[/tex]
2) z = 2
[tex]z'=\dfrac{2i}{2-i}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4i}{5}[/tex] (voir fin de l'exercice 1)
3) |z'| = 1
[tex]|\dfrac{iz}{z-i}|=1\\\\\dfrac{|iz|}{|z-i|}=1\\\\|iz|=|z-i|\\\\|i||z|=|z-i|\\\\|z|=|z-i|[/tex]
L'ensemble E1 est l'ensemble des points situés à égales distances du point O d'affixe 0 et du point P d'affixe i(0;1).
Cet ensemble est la médiatrice du segment [OP].
4) [tex]Arg(z')=\dfrac{\pi}{2}[/tex]
z' est un imaginaire pur.
Sa partie réelle est donc nulle.
Posons z = x + iy
[tex]z'=\dfrac{i(x+iy)}{x+iy-i}=\dfrac{ix-y}{x+i(y-1)}=\dfrac{(ix-y)[x-i(y-1)]}{[x+i(y-1)][x-i(y-1)]}\\\\=\dfrac{ix^2+x(y-1)-xy+y(y-1)i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{xy-x-xy+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x+[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}\\\\=\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}+\dfrac{[x^2+y(y-1)]i}{x^2+(y-1)^2}[/tex]
Si la partie réelle de z' est nulle, alors :
[tex]\dfrac{-x}{x^2+(y-1)^2}=0,\ \ soit\ \ x=0[/tex]
L'ensemble E2 est la droite d'équation x = 0 privée du point d'affixe i, soit l'axe des ordonnées privé du point d'affixe i(0;1).
5) z' est un réel.
Donc sa partie imaginaire est nulle.
En utilisant la fin des calculs de l'exercice 4), nous avons :
[tex]\dfrac{[x^2+y(y-1)]}{x^2+(y-1)^2}=0\\\\x^2+y(y-1)=0\\\\x^2+y^2-y=0\\\\x^2+y^2-y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0\\\\x^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}[/tex]
L'ensemble E3 est un cercle de centre (0 ; 1/2) et de rayon 1/2, privé du point d'affixe i (0;1).