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Exercice 1) : C'est du calcul, sachant que phi = (1 + √5) / 2 ...
a) phi au carré = [(1 + √5) / 2] au carré = (1 + √5) au carré / 4 = (1 + 2√5 + 5) / 4 (produit remarquable)
phi au carré = (6 + 2√5) / 4 = (3 + √5) / 2 que tu vérifies comme étant égal à [(1 + √5) / 2] + 1 = phi + 1 !
b) 1 / phi = 1 / [1 + √5) / 2] = 1 x [2 / (1 + √5)] = 2 / (1 + √5) qui, en utilisant l'expression conjuguée afin de faire disparaître les radicaux du dénominateur, s'écrit aussi 2 x (1 - √5) / (1 + √5) (1 -√5) ou (2 - 2√5) / (1 - 5) ou encore, en simplifiant par -2, (-1 + √5) / 2
Quant à phi - 1 : phi - 1 = [(1 + √5) / 2] - 1 = (1 + √5 - 2) / 2 par réduction au même dénominateur... = 1 / phi !
c) phi au cube = phi au carré x phi; or il a été établis en a) que phi au carré = phi + 1 d'où phi au cube = (phi + 1) x phi. Et après développement phi au cube = phi au carré + phi.
En remplaçant à nouveau phi au carré par phi + 1, on aboutit finalement à phi au cube = (phi + 1) + phi = 2phi + 1 !
a) phi au carré = [(1 + √5) / 2] au carré = (1 + √5) au carré / 4 = (1 + 2√5 + 5) / 4 (produit remarquable)
phi au carré = (6 + 2√5) / 4 = (3 + √5) / 2 que tu vérifies comme étant égal à [(1 + √5) / 2] + 1 = phi + 1 !
b) 1 / phi = 1 / [1 + √5) / 2] = 1 x [2 / (1 + √5)] = 2 / (1 + √5) qui, en utilisant l'expression conjuguée afin de faire disparaître les radicaux du dénominateur, s'écrit aussi 2 x (1 - √5) / (1 + √5) (1 -√5) ou (2 - 2√5) / (1 - 5) ou encore, en simplifiant par -2, (-1 + √5) / 2
Quant à phi - 1 : phi - 1 = [(1 + √5) / 2] - 1 = (1 + √5 - 2) / 2 par réduction au même dénominateur... = 1 / phi !
c) phi au cube = phi au carré x phi; or il a été établis en a) que phi au carré = phi + 1 d'où phi au cube = (phi + 1) x phi. Et après développement phi au cube = phi au carré + phi.
En remplaçant à nouveau phi au carré par phi + 1, on aboutit finalement à phi au cube = (phi + 1) + phi = 2phi + 1 !