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Bonjour,
[tex]X^n=( X^3- 3 X^2+ 2 X)\times Q(x)+ax^2+bx+c[/tex]
Recherchons les raines de X^3-3X^2+2X.
[tex]X^3-3X^2+2X=0\\\\X(X^2-3X+2)=0\\\\X=0\ \ ou\ \ X^2-3X+2=0[/tex]
Or [tex]X^2-3X+2=0\\\\\Delta=9-8=1\\\\X_1=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1\ \ ou\ \ X_2=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2[/tex]
D'où [tex]X^3-3X^2+2X=0\\\\X(X^2-3X+2)=0\\\\X=0\ \ ou\ \ X=1\ \ ou\ \ X=2\\\\X^3-3X^2+2X=X(X-1)(X-2)[/tex]
Par conséquent [tex]X^n=X(X-1)(X-2)\times Q(x)+ax^2+bx+c[/tex]
Si X = 0, alors 0 = 0 + a*0 + b*0 + c ===> c = 0
Si X = 1, alors 1^n = 0 + a*1² + b*1 + c ===> 1 = a + b + c
Si X = 2, alors 2^n = 0 + a*2² + b*2 + c ===> 2^n = 4a + 2b + c
Nous avons donc le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}c=0\\a+b+c=1\\4a+2b+c=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a+b=1\\4a+2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4(1-b)+2b=2^n\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4-4b+2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4-2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\2b=4-2^n\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-(2-2^{n-1})\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=-1+2^{n-1}\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=2^{n-1}-1\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent le reste de la division de X^n par X^3- 3 X^2+ 2 X est
[tex](2^{n-1}-1)X^2+(2-2^{n-1})X[/tex]
[tex]X^n=( X^3- 3 X^2+ 2 X)\times Q(x)+ax^2+bx+c[/tex]
Recherchons les raines de X^3-3X^2+2X.
[tex]X^3-3X^2+2X=0\\\\X(X^2-3X+2)=0\\\\X=0\ \ ou\ \ X^2-3X+2=0[/tex]
Or [tex]X^2-3X+2=0\\\\\Delta=9-8=1\\\\X_1=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1\ \ ou\ \ X_2=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2[/tex]
D'où [tex]X^3-3X^2+2X=0\\\\X(X^2-3X+2)=0\\\\X=0\ \ ou\ \ X=1\ \ ou\ \ X=2\\\\X^3-3X^2+2X=X(X-1)(X-2)[/tex]
Par conséquent [tex]X^n=X(X-1)(X-2)\times Q(x)+ax^2+bx+c[/tex]
Si X = 0, alors 0 = 0 + a*0 + b*0 + c ===> c = 0
Si X = 1, alors 1^n = 0 + a*1² + b*1 + c ===> 1 = a + b + c
Si X = 2, alors 2^n = 0 + a*2² + b*2 + c ===> 2^n = 4a + 2b + c
Nous avons donc le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}c=0\\a+b+c=1\\4a+2b+c=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a+b=1\\4a+2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4(1-b)+2b=2^n\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4-4b+2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\4-2b=2^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\2b=4-2^n\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-b\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=1-(2-2^{n-1})\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=-1+2^{n-1}\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow \left\{\begin{matrix}c=0\\a=2^{n-1}-1\\b=2-2^{n-1}\end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent le reste de la division de X^n par X^3- 3 X^2+ 2 X est
[tex](2^{n-1}-1)X^2+(2-2^{n-1})X[/tex]