résolu

ABCD est un tétraèdre. Soit I et J les points tels que AI=1/5AC et AJ=1/5AD, I et J les milieux de BC et BD.

On étudie la position relative des droites (KI) et (L J) de deux façons différentes.

 

1) PAR LE CALCUL VERTORIEL

a) montrer que IJ=2/5KL

b) justifier que (KI) et (L J) sont sécantes en un point ( signe de oméga). construire oméga

c) montrer que A,B,oméga sont almignés

 

2)AVEC DES COORDONNEES

a)expliquer pourquoi  (A,AB,AC,AD) est un repère de l'espace et donner les coordonnées de spoint d ela figure dans ce repère.

b)écrire une représentation paramétrique de chbacune des droites (KI) et (L J)

c) montrer qu'elles sont sécantes en un point oméga.

d) montrer que A,B, oméga sont alignés.

Répondre :

Un peu d'attention : tu écris des ABSURDITES !

" Soit I et J les points tels que AI=1/5AC et AJ=1/5AD, I et J les milieux de BC et BD."

non ce sont K et L sans doute ?


Dans BCD KL est la droite des milieux donc CD=2*KL

et dans ACD Thales donne IJ=(1/5)CD ; donc IJ=(2/5)KL cqfd

 

(KI) est contenue dans le plan (ABC) et (LJ) dans le plan (ACD) ces deux plans ne sont pas // donc les 2 droites se coupent, et elles se coupent en un point qui est dans l'intersection des 2 plans, qui est la droite (AB) cqfd

 

dans ce repere : 1(0,0,0) B(1,0,0) C(0,1,0) D(0,0,1)

donc J(0,0,1/5) et I(0,1/5,0) puis K(1/2,1/2,0) et L(1/2,0,1/2)

le vecteur IK est colineaire à (1;3/5;0) donc eq param de (IK) x=t y=1/5+3t/5 z=0

le vecteur JL est colineaire à (1;0;3/5) donc eq param de (JL) x=t y=0 z=1/5+3t/5 

pour t=-1/3 on a le point w(-1/3;0;0) commun aux deux droites

et comme l'équation de (AB) est y=z=0 w est bien sur (AB)

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