Répondre :
u(x) est une fonction du second degré, tu sais étudier ce type de fonction j'imagine.
au final il y'a deux racines soit deux solutions tel que U(x)=0
qui sont x=-7 et x=1 tu remarques que le coéficient du second deré est 1. (1× x²)
Tu en conclus que u(x)>0 pour tout x ∈ [-∞;-7[ U ]1;+∞]
F(x)=|u(x)|
c'est à dire que si u(x) est positif ou égal à 0 alors f(x)=u(x) cependant, si u(x) est négatif alors f(x)=-u(x)
donc, ∀ x ∈ [-∞;-7] U [1;+∞] et ∀ x ∈ ]-7;1[
f(x)=x²+6x-7 f(x)=-x²-6x+7
(0.625= [tex]\frac{5}{8}[/tex])
G(x)=[tex]\frac{5x^2}{8}[/tex]-5x+5
Sur l'intervalle 0 à 7:
f(x)=-x²-6x+7 sur [0;1]
donc résoudre f(x)>g(x)
⇔-x²-6x+7>[tex]\frac{5x^2}{8}[/tex]-5x+5
⇔[tex]\frac{-13x^2}{8}[/tex]-x+2>0 (étude d'une fonction du second degré).
delta=14 il y'a deux racines x1=[tex]\frac{1-\sqrt{14}}{\frac{-13*2}{8}}[/tex] (qui est supérieur à 0)
et x2=[tex]\frac{1+\sqrt{14}}{\frac{-13*2}{8}}[/tex] (inférieur à 0)
sur [0;1]
donc f(x)>g(x) pour tout x ∈ [0; [tex]\frac{4(1-\sqrt{14})}{-13}[/tex] ] (car a<0)
sur l'intervalle [1;7]
on résoud x²+6x-7>[tex]\frac{5x^2}{8}[/tex]-5x+5
⇔[tex]\frac{3x^2}{8}[/tex]+11x-12>0
cette inéquation du second degré a 2 racine (delta=139)
x1=[tex]\frac{-11-\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}}[/tex] (inférieur à 0)
x2=[tex]\frac{-11+\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}}[/tex] (supérieur à 0)
sur [1;7]
f(x)>g(x) ∀ x ∈ [ [tex]\frac{-11+\sqrt{139}}{\frac{5*2}{8}}[/tex] ; 7] (car a>0 et que 1<x2<7)
pour conclure. sur [0;7] f(x)>g(x)
∀ x ∈ [ 0 ; [tex]\frac{4(1-\sqrt{14})}{-13}[/tex]]U[ [tex]\frac{4(-11\sqrt{139})}{5}[/tex] ; 7]
sur l'intervalle [7;8] comme on a déjà étudié f(x)>g(x) avec f(x)=u(x)
on a donc f(x)>g(x) pour tout x sur [7;8]