lauraderozario
résolu

On veut calculer la somme suivante: S = 2 puissance 0 + 2 puissance 1 + 2 puissance 2 + 2 puissance 3 + ... + 2 puissance 30 + 2 puissance 31 + 2 puissance 32. 1) Démontrer que pour tout entier positif n: 2 puissance n = 2 puissance n+1 - 2 puissance n. 2) En utilisant la question 1 écrire S comme une différence de la puissance de 2. 3) En déduire la valeur de S.

Répondre :

2^(n+1) c'est 2*2^n donc 2^(n+1)-2^n=(2^n)(2-1)=2^n CQFD

 

S vaut donc (2^33-2^32)+(2^32-2^31)+......+(2^1-2^0) on remarque que les termes s'annulent (téléscopage) : S=2^33-1

 

 

telephone16

la somme de S = 2 puissance 0 + 2 puissance 1 + 2² + 2 puissance 3 +............2 puissance 30 + 2 puissance 31 + 2 puissance 31 +2 puissance 32 etc............. j'ai noté le début de l'énoncé pour m'aider.

tu as 2 puissance (n+1) = 2X2 puissance n = 2 puissance(n+1) -2puissance n X (2 puissance n -1) 2puissance n .

Ainsi S= (2puissance33 -2 puissance 32)+ (et ainsi de suite jusqu'à (2 puissance 1 -2 puissance 0) tu remarques que cela s'annule systématiquement.

 

 

 

 

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