On Considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-1/2;+l'infini[ par :
f(x)=2x-3+9/(2x+1)
Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j)
QUESTIONS :
3)a Montrer que la droite D d'équation y=2x-3 est une asymptote de C
3)b Etudier la position de C par rapport à D lorsque x varie dans ]-1/2;+l'infini[
4)a On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.Montrer que pour tout x de ]-1/2;+l'infini[ , f(x)=(8(x+2)(x-1)/(2x+1)²)
4)b En déduire le tableau de variations de f sur ]-1/2;+l'infini[
Compléter le tableau de variations en y portant les limites obtenues au 1. et 2.
5) Déduire du tableau de variation le signe de f(x) lorsque x varie dans ]-1/2;+l'infini[
6) Indiquer le nombre de solutions de l'équation f(x)=10 sur ]-1/2;+l'infini[
3a) calcule [tex]\lim_{x \to \infty} ( f(x) - ( 2x - 3 ) )[/tex]
3b ) calcule le signe de f(x) - ( 2x -3 ) si + alors C au dessus de D sinon l'inverse.
4a) derivée de 2x - 3 = 2
dérivée de 9 / ( 2x + 1 ) = - 9 * 2 / ( 2x + 1 ) ²
donc dérivée de f = 2 - 9 * 2 / ( 2x + 1 ) ² = ( 2 ( 2x+1)² - 18 ) / ( 2x+1)²
il te reste à vérifier que 8( x+2)(x-1) = 2( 2x+1 )² -18 en développant les 2
4b) f ' ( x) = ( 8 ( x + 2 ) ( x - 1 ) / ( 2x +1 ) ²
( 2x +1 )² > 0 sur l'intervalle ]-1/2;+l'infini[
x+2 >0 sur ]-1/2;+l'infini[
x-1 > 0 sur ]1;+l'infini[ et x-1 < 0 sur ]-1/2;1[
donc f ' ( x ) < 0 sur ]-1/2;1[ alors f décroissante
et f ' ( x ) > 0 sur ]1;+l'infini[ alors f croissante
5) f ( 1 ) = 2 donc le minimum de la fonction est positif alors f(x) > 0.
6) lim en +infini = + infini donc une solution sur ]1;+l'infini[
lim en -1/2 = + infini donc aussi une solution sur ]-1/2;1[
alors 2 solutions sur ]-1/2;+l'infini[
