alice241209
résolu

On considère une  fonction complexe f qui à tout nombre complexe z distinct de  -i associe le nombre complexe z’ définie par :  = iz+3/z+i

 

1.       Quelques cas particuliers :Existe-t-il des nombres  complexes  z  tel que f(z) = z ? Soit c = -2+i  Monter que c’, image de c par f, est un réel.

 

2.       Des ensembles de points :

On pose z=x+iy  et z'=x'+iy'  avec  x, y, x’ et y’  des réels tels que :

 z ' différent de - i. On se place dans un repère orthonormé (O ; u ; v ) du plan

 

Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. On montrera en particulier que y’ = (x^2+y^2-2y-3)/(x^2+(y+1)^2)

 

Déterminer l’ensemble E des points M (x;y) du plan tels que z’ soit  un imaginaire pur. Représenter l’ensemble E dans le repère (O ; u ; v)

 

Déterminer l’ensemble F des points M (x;y) du plan tels que z’ soit  un réel. Représenter l’ensemble Fdans le repère (O ; u ; v )

 

Résoudre l’équation f(z) = 1.

 

 Soit  K (2 ; 1 ). Justifier sans calcul que K appartient F.

 

 

Répondre :

f(z)=z donne iz+3=z^2+iz soit z^2=3 solutions V3 et -V3

 

c'=(i(-2+i)+3)/(-2+i+i)=-1

 

f(z)=[(3-y)+ix]/[x+i(y+1)] on multiplie "haut et bas" par x-i(y+1]

 

ce qui donne x'=[(3-y)x+x(y+1)]/[x^2+(y+1)^2] et y'=[x^2-(y+1)(3-y)]/[x^2+(y+1)^2]

 

z' imaginaire <=> x'=0  <=> (3-y)x+x(y+1)=0 soit 3+x=0 E est la droite x=-3

z' réel <=> y'=0 <=> x^2+y^2-2y-3=0 soit x^2+(y-1)^2=4 F est le cercle de centre (0,1) rayon 2

 

f(z)=1 <=> z+i=iz+3 soit z(1-i)=3-i donc z=(3-i)/(1-i)=2+i

 

donc K d'affixe 1+i a une image réelle, il est donc dans F

 

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