Bonjour tous le monde! Voilà, j'ai un DM et j'ai un peu de mal avec les fonctions cos et sin, donc si vous avez des pistes ou quelque chose, merci :)!
On considère la fonction f définie par : [tex]f(x)=cos^3x-sin^3x[/tex]
1) Démontrer que f est [tex]2\pi[/tex]-périodique.
2) a. Démontrer que pour tout réel x : [tex]\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=cosx+sinx[/tex]
b. Démontrer que pour tout réel x : [tex]f'(x)=-3\sqrt{2}(sinx)(cosx)cos(x-\frac{\pi}{4})[/tex]
3) A l’aide d’un tableau de signes, déterminer le signe de la dérivée de f sur [tex][-\pi;\pi][/tex] et dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle.
4) Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [tex][-\pi;\pi ][/tex] .
5) a. Montrer que pour tous réels a et b, on a l’égalité : [tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex].
b. Résoudre dans l’équation f(x)=0.
2a : cos(a-b)=cosacosb-sinasinb appliques avec a=x et b=π/4
f'(x)=-3*(cosx)^2*sinx-3*sin(x)^2*cos(x)=-3(sinx)(cos(x)(sinx+cosx) et on applique 2a.
3 c'est evident a faire.
5 f(x)=(cosx-sinx)(1+sinxcosx) donc nulle si sinx=cosx ou si sin(2x)=-1/2