Réponse :
Bonjour
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct les points A(1; 1) B(- 2; 2)
1. On considère (C) le cercle défini par (C) x ^ 2 + y ^ 2 + x - 3y = 0
x² + x + y² - 3 y = 0
a. Déterminer le centre et le rayon de (C).
x² + 2 * (1/2)x + (1/2)² - (1/2)² + y² - 2 * (3/2 y) + (3/2)² - (3/2)² = 0
(x + 1/2)² - 1/4 + (y - 3/2)² - 9/4 = 0
(x + 1/2)² + (y - 3/2)² - 10/4 = 0
(x + 1/2)² + (y - 3/2)² = 10/4
le centre du cercle C est I(- 1/2 ; 3/2) et de rayon R = (√10)/2
b. Vérifier que [AB] est un diamètre de (C).
vec(AB) = (- 3 ; 1) ⇒ AB² = (-3)² + 1² = 10 ⇒ AB = √10
donc (AB) est bien le diamètre de C
c. Donner une représentation paramétrique de (C).
soit M(x ; y) ∈ C(I ; r) ⇔ il existe un réel t tel que
{x = - 1/2 + (√10)/2)cost
{y = 3/2 + (√10)/2)sint
2. Déterminer une équation de la droite (Δ) tangente au cercle (C) en A.
soit vec(IA) vecteur normal à la droite (Δ)
donc vec(IA) = (-1/2 - 1 ; 3/2 - 1) = (- 3/2 ; 1/2)
a x + by + c = 0 ⇔ - 3/2)x + 1/2)y + c = 0
A(1 ; 1) ∈ (Δ) ⇔ - 3/2 + 1/2 + c = 0 ⇒ c = 1
- 3/2)x + 1/2)y + 1 = 0 ⇔ - 3x + y + 2 = 0
3. On considère la droite (D): 2x + y - 3 = 0 .
Etudier la position relative de (C) et (D) puis déterminer leurs points d'intersection s'ils sont sécants.
(Δ) : - 3x + y + 2 = 0 a pour vecteur directeur vec(u) = (- 1 ; - 3)
(D): 2x + y - 3 = 0 . a pour vecteur directeur vec(v) = (- 1 ; 2)
dét(vec(u) ; vec(v)) = xy' - x'y = - 1*2 - (-1)*(-3) = - 5 ≠ 0
les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires donc les droites (Δ) et (D) sont sécantes
(Δ) : - 3x + y + 2 = 0 ⇒ y = 3x - 2
(D): 2x + y - 3 = 0 . ⇒ y = - 2x + 3
3x - 2 = - 2x + 3
5x = 5
x = 1 et y = 1 donc le point d'intersection est (1 ; 1) donc le point A
Explications étape par étape :
