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Réponse:
Pour la fonction \( f \) définie par \( f(x) = 4x + 7 \), voici comment résoudre chaque partie de l'exercice :
1) Pour déterminer l'image de -2 par \( f \), nous remplaçons \( x \) par -2 dans l'expression de \( f(x) \) :
\[ f(-2) = 4(-2) + 7 = -8 + 7 = -1 \]
Donc, l'image de -2 par \( f \) est -1.
2) Pour déterminer l'antécédent de -3 par \( f \), nous devons trouver quelle valeur de \( x \) donne \( f(x) = -3 \). Pour cela, nous résolvons l'équation \( f(x) = -3 \) :
\[ 4x + 7 = -3 \]
\[ 4x = -3 - 7 \]
\[ 4x = -10 \]
\[ x = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \]
Donc, l'antécédent de -3 par \( f \) est -5/2.
3) Pour tracer le tableau de variations de la fonction \( f \), nous devons examiner comment la fonction varie en fonction de \( x \). Comme il s'agit d'une fonction affine, elle est soit croissante (si le coefficient directeur est positif) soit décroissante (si le coefficient directeur est négatif). Dans ce cas, le coefficient directeur est 4, donc la fonction est croissante. Le tableau de variations sera donc :
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-\infty & \text{croissant} \\
\hline
\end{array}
\]
4) Pour tracer le tableau de signe de la fonction \( f \), nous devons examiner les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle. Comme la fonction est croissante sur toute sa droite numérique, elle sera négative pour \( x < -\frac{7}{4} \) et positive pour \( x > -\frac{7}{4} \). Donc, le tableau de signe sera :
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
x & -\infty & -\frac{7}{4} & +\infty \\
\hline
f(x) & - & 0 & + \\
\end{array}
\]