résolu

Exercice Un placard a la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si la largeur est x, sa profondeur est 12-x et la hauteur est égale à la profondeur. On suppose que x € [0;12] et les dimensions sont exprimés en dm. 1. Quelle est le volume d'un parallélépipède rectangle. 2. En déduire le volume V(x) du placard, en dm³. 3. Déterminer la fonction dérivée V'(x) pour tout x € [0;12]. 4. Vérifier que 4 et 12 sont bien racine du polynôme 3x² - 48x +144. 5. En déduire la forme factorisée de V'(x) puis son tableau de signe. 6. On admet que si V'(x) est positif alors V(x) est croissante si V'(x) est négatif alors V(x) est décroissante Déterminer le tableau de variation de la fonction V. 7. Par lecture du tableau de variation de V, déterminer quelles dimensions doit-on choisir pour placard afin d'obtenir un volume maximal.​

Répondre :

fezanesaid

Réponse:

1. Le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule V = longueur × largeur × hauteur.

2. Pour le placard, le volume V(x) est donné par V(x) = x × (12 - x) × (12 - x).

3. Pour déterminer la fonction dérivée V'(x), nous utilisons la règle du produit et la règle de la chaîne pour obtenir :

V'(x) = (12 - x)^2 - x × 2(12 - x) = 144 - 24x + x^2 - 24x + 2x^2 = 3x^2 - 48x + 144.

4. Nous vérifions que 4 et 12 sont bien racines du polynôme 3x² - 48x + 144 en substituant ces valeurs :

Pour x = 4 : 3(4)^2 - 48(4) + 144 = 48 - 192 + 144 = 0.

Pour x = 12 : 3(12)^2 - 48(12) + 144 = 432 - 576 + 144 = 0.

5. Pour obtenir la forme factorisée de V'(x), nous divisons le polynôme par 3 pour simplifier :

V'(x) = 3x^2 - 48x + 144 = 3(x^2 - 16x + 48) = 3(x - 4)(x - 12).

Le tableau de signe est + pour x < 4, - entre 4 et 12, et + pour x > 12.

6. En utilisant les informations sur le signe de la dérivée, nous pouvons déterminer le tableau de variation de V.

- V(x) est croissante pour x < 4,

- V(x) est décroissante pour 4 < x < 12,

- V(x) est croissante pour x > 12.

7. Pour obtenir un volume maximal, nous cherchons la valeur de x pour laquelle V(x) atteint son maximum. En lisant le tableau de variation, nous voyons que V(x) atteint son maximum lorsque x = 4 ou x = 12. Donc, les dimensions du placard doivent être 4 dm × 8 dm × 8 dm ou 12 dm × 0 dm × 0 dm pour obtenir un volume maximal.

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