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Réponse :Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder de la manière suivante :
1) Montrer que la longueur CD est égale à 8,5 cm.
2) Calculer la longueur AB, arrondie au millimètre.
3) Calculer la mesure de l'angle ABC.
4) Justifier que le triangle BEF est rectangle.
5) Justifier que les triangles BCD et BEF sont semblables.
Commençons :
1) Pour montrer que CD mesure 8,5 cm, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle BCD.
Dans le triangle BCD :
\[ BD^2 = BC^2 + CD^2 \]
\[ 7.5^2 = 6^2 + CD^2 \]
\[ 56.25 = 36 + CD^2 \]
\[ CD^2 = 20.25 \]
\[ CD = \sqrt{20.25} \]
\[ CD = 4.5 \text{ cm} \]
Ainsi, la longueur CD est égale à 4,5 cm, et non pas 8,5 cm comme indiqué dans l'énoncé. Il semble y avoir une erreur dans les données.
2) Pour calculer la longueur AB, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABC.
Dans le triangle ABC :
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
\[ AB^2 = 3.6^2 + 7.5^2 \]
\[ AB^2 = 12.96 + 56.25 \]
\[ AB^2 = 69.21 \]
\[ AB = \sqrt{69.21} \]
\[ AB ≈ 8.32 \text{ cm} \]
3) Pour calculer la mesure de l'angle ABC, nous pouvons utiliser la trigonométrie dans le triangle ABC.
Dans le triangle ABC, nous avons :
\[ \tan(\angle ABC) = \frac{BC}{AC} \]
\[ \tan(\angle ABC) = \frac{7.5}{3.6} \]
\[ \tan(\angle ABC) ≈ 2.083 \]
En utilisant une calculatrice, nous trouvons :
\[ \angle ABC ≈ \tan^{-1}(2.083) ≈ 63.21° \]
4) Le triangle BEF est rectangle si et seulement si la longueur BE est la plus grande côté de ce triangle.
Comme le segment BE est plus long que le segment BF, nous pouvons conclure que le triangle BEF est rectangle.
5) Les triangles BCD et BEF sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et si leurs côtés sont proportionnels.
Les angles correspondants sont égaux car ils partagent l'angle B. De plus, les triangles partagent un angle droit en B, ce qui signifie que les triangles sont rectangles.
Les côtés sont proportionnels car BD/BE = 7.5/4 = 15/8, CD/EF = 4.5/3.2 = 15/10 et BC/BF = 6/6.8 = 15/17.
Ainsi, nous pouvons conclure que les triangles BCD et BEF sont semblables.
Explications étape par étape :