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Bonjour! Je serais ravi de vous aider avec votre exercice de mathématiques.
a) Pour calculer la valeur exacte de cos(α), nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique fondamentale: cos²(α) + sin²(α) = 1.
Nous savons déjà que sin(α) = √5 - 1/4.
En utilisant cette information, nous pouvons résoudre pour cos(α):
cos²(α) + (√5 - 1/4)² = 1
cos²(α) + (5 - 2√5/4 + 1/16) = 1
cos²(α) + (20 - 8√5 + 1)/16 = 1
cos²(α) + (21 - 8√5)/16 = 1
cos²(α) = 1 - (21 - 8√5)/16
cos²(α) = (16 - 21 + 8√5)/16
cos²(α) = (-5 + 8√5)/16
cos(α) = ±√((-5 + 8√5)/16)
b) Pour trouver les valeurs exactes de sin(-9π/10) et cos(2π/5), nous pouvons utiliser les propriétés trigonométriques suivantes :
sin(-θ) = -sin(θ) et cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ).
Pour sin(-9π/10), nous utilisons la propriété sin(-θ) = -sin(θ):
sin(-9π/10) = -sin(9π/10)
Pour cos(2π/5), nous utilisons la propriété cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ):
cos(2π/5) = cos²(π/5) - sin²(π/5)
En utilisant les valeurs que nous avons trouvées précédemment pour sin(π/10) et cos(π/10), nous pouvons trouver les valeurs exactes de sin(-9π/10) et cos(2π/5).