résolu

bonjour, j'ai des difficultés pour certaines questions de ce dm Merci d'avance qe bien vouloir m'aider.

Stéphanie a pour principe de dépenser la moitié de ses sous pour déjeuner.
Au matin du 1er Janvier, elle a 100 euros en poche .
Chaque jour à partir du 2 janvier compris, ses parents lui donnent 5 euros d’argent de poche le matin.
1) Quelle somme possède Stéphanie le 2 janvier et le 3 janvier avant le déjeuner ?
2) On définit par Un la somme en euros que possède Stéphanie avant le déjeuner du nième jour après le 1er janvier (ainsi , U0 = 100) .
a) La suite (Un) est-elle géométrique ou arithmétique ?
b) Conjecturer son sens de variation et sa limite.
c) Justifier que U(n+1)=1/2Un+5.
3) On pose Vn = Un – 10 .
a) Prouver que la suite (Vn) est géométrique .
b) Déterminer Vn , puis Un en fonction de n.
c) Déterminer le sens de variation de la suite (Un) .
d) La suite (Un) converge t-elle ? Si oui , quelle est sa limite ?
4) On pose Sn = U0 + U1 + … + Un .
a) Démontrer que Sn =180[1-(1/2)^(n+1)]+10n+10 .
b) A la fin du mois de Janvier, quelle somme Stéphanie aura t’elle dépensé pour
déjeuner dans le mois ?
c) A quelle date aura t’elle dépensé plus de 1000 euros pour déjeuner ?

j'ai fait:1) le 02 janvier elle a 100+5=105€ avant le déjeuner.
le 03 janvier elle a 1/2*105+5=57.50€
2)a) la suite est arithmétique de raison r=5 mais j'ai un doute
b) la suite (Un) semble être décroissante et sa limite tend vers un réel "l".
c) chaque jour Stéphanie dépense la moitié de ses sous pour le déjeuner soit1/2Un .
ses parents lui donne 5€ chaque matin d'où +5
donc on a bien U(n+1)=1/2Un+5
3) Vn=Un-10
⇔V(n+1)=U(n+1)-10
⇔V(n+1)=1/2Un +5-10
⇔V(n+1)=1/2Un-5
⇔V(n+1)=1/2(Un-5*2)
⇔V(n+1)=1/2(Un-10)
⇔V(n+1)=1/2Vn
la suite (Vn) est bien géométrique de raison q=1/2 et V0=U0-10=100-10=90.
b) Vn=V0*q^n
⇔Vn=90*(1/2)^n
on a Vn=Un-10
⇔ Un=Vn+10
⇔ Un=90*(1/2)^n+10
c) U(n+1)/Un= [90*(1/2)^(n+1)+10]/[90*(1/2)^n+10] et après je ne sais pas comment faire????
d'après la calculatrice la suite (Un) est décroissante et minorée par 10 donc elle converge.
lim Un =10
4)a) démontrer que Sn =180[1-(1/2)^(n+1)]+10n+10 je ne sais pas comment faire?????
b)a la fin du mois elle a dépensé:
Sn =180[1-(1/2)^31]+10*30+10
=490 €
c) je ne sais pas comment répondre à cette question
Merci de bien vouloir m'aider

Répondre :

Réponse:

Pour résoudre ce problème, commençons par répondre aux différentes questions posées :

1) Le 2 janvier, Stéphanie aura 100 + 5 = 105 euros avant le déjeuner. Le 3 janvier, elle aura 105 + 5 = 110 euros avant le déjeuner.

2)

a) La suite (Un) est arithmétique car chaque jour elle reçoit une somme fixe de 5 euros.

b) La suite augmente de 5 euros chaque jour et sa limite est infinie car elle continuera à augmenter de 5 euros chaque jour.

c) Pour justifier que U(n+1) = 1/2Un + 5, on peut dire que chaque jour, Stéphanie dépense la moitié de ce qu'elle a (1/2Un) pour déjeuner et ses parents lui donnent 5 euros.

3)

a) Pour prouver que la suite (Vn) est géométrique, on peut exprimer Vn en fonction de V(n-1) et montrer que le rapport Vn / V(n-1) est constant.

b) En utilisant Vn = Un - 10, on peut déterminer Vn = 1/2(V(n-1)) - 5 et Un = 2(Vn + 10).

c) La suite (Un) est décroissante car chaque jour Stéphanie dépense la moitié de ce qu'elle a pour déjeuner.

d) La suite (Un) converge vers 10 euros car elle diminue de moitié chaque jour.

4)

a) Pour démontrer que Sn = 180[1-(1/2)^(n+1)] + 10n + 10, on peut utiliser la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique.

b) À la fin du mois de janvier, Stéphanie aura dépensé 180 euros pour déjeuner.

c) Stéphanie aura dépensé plus de 10 euros le 12 janvier.

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