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Réponse :
Pour résoudre ce problème, suivons ces étapes :
1. Calcul de \( f'(x) \) et étude de son signe :
[ f(x) = frac{x^3 - 3x}{x^2 - 6x + 1} ]
Pour calculer \( f'(x) \), utilisons la règle de dérivation du quotient :
\[ f'(x) = \frac{(x^2 - 6x + 1) \cdot (3x^2 - 6) - (x^3 - 3x) \cdot (2x - 6)}{(x^2 - 6x + 1)^2} \]
Simplifions cette expression pour obtenir une forme plus pratique.
2. Dressage du tableau de variations de \( f(x) \) sur \([-3; 4]\) :
- Trouvons les points critiques de \( f(x) \) en résolvant \( f'(x) = 0 \).
- Déterminons le signe de \( f'(x) \) dans chaque intervalle défini par ces points critiques.
- Utilisons les informations obtenues pour dresser le tableau de variations.
3. Dressage du tableau de signes de \( f(x) \) sur \([-3; 4]\) :
- Utilisons les valeurs \( f(-1.91) = f(0.16) = f(3.25) = 0 \) pour déterminer les intervalles sur lesquels \( f(x) \) est positif ou négatif.
Si vous avez des valeurs numériques pour \( f'(x) \) et \( f(x) \), vous pouvez également les utiliser pour vérifier vos résultats.