Pour le premier exercice :
1) L'ensemble de définition \( D_v \) de la fonction \( V \) est l'intervalle [0, 6] car la longueur \( x \) ne peut pas dépasser la longueur d'un côté du cube, qui est de 6 cm.
2) Pour démontrer que \( V(x) = 6x^2 - x^3 \), on utilise la formule du volume d'un pavé droit, \( V = l \times L \times h \), où \( l \), \( L \), et \( h \) sont les longueurs, largeurs et hauteurs respectivement. Dans ce cas, \( l = x \), \( L = 6 \), et \( h = x \). Donc \( V(x) = x \times 6 \times x = 6x^2 \). Ensuite, on soustrait le volume du cube de dimension \( x \), ce qui donne \( -x^3 \), d'où \( V(x) = 6x^2 - x^3 \).
3) Pour \( x = 2 \), \( V(2) = 6(2)^2 - (2)^3 = 24 \) cm³.
4) Pour trouver la valeur de \( x \) qui maximise le volume, on dérive la fonction \( V(x) \) par rapport à \( x \) et on résout \( V'(x) = 0 \). Ensuite, on vérifie la concavité pour s'assurer que c'est un maximum.
Pour le deuxième exercice :
1) Le coût de production \( C(n) \) de \( n \) livres est \( C(n) = 30000 + 3.5n \).
2) La recette \( R(n) \) pour \( n \) livres vendus est \( R(n) = 6.5n \).
3) On peut représenter graphiquement les fonctions \( C \) et \( R \) sur l'intervalle [0, 16000] dans un même repère.
4) Pour réaliser un bénéfice, il faut que \( R(n) > C(n) \), donc il faut trouver le point d'intersection des courbes \( C \) et \( R \).
5) Pour réaliser des bénéfices à partir de 4000 livres vendus, la maison d'édition doit vendre chaque livre à un prix supérieur au coût de production, c'est-à-dire \( 30000 + 3.5 \times 4000 \).
