résolu

Exercice 2: Un fabriquant de lentilles hydrophiles a constaté à l'issue de la
fabrication, que ces lentilles peuvent présenter deux types de défauts : un rayon de
courbure défectueux ou une perméabilité à l'oxygène défectueuse.
Au cours d'une semaine, on a constaté que 6% des lentilles présentent au moins un
des deux défauts, 5% des lentilles présentent un rayon de courbure défectueux
et 3% présentent une perméabilité à l'oxygène défectueux.
On prélève une lentille au hasard dans cette production et on note:
·
A l'événement: "La lentille prélevée présente un rayon de courbure
défectueux";
⚫ B l'événement: "La lentille prélevée présente une perméabilité à l'oxygène
défectueuse".
1. Calculer la probabilité de l'événement "la lentille prélevée au hasard ne
présente aucun défaut".
2. Calculer la probabilité de l'événement "la lentille prélevée au hasard présente
les deux défauts".
3. Calculer la probabilité de l'événement C: "la lentille prélevée au hasard n'a
qu'un seul des deux défauts".

Répondre :

anaisff12

Réponse :

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les probabilités conditionnelles et la formule de la probabilité de l'événement intersection.

Définissons les événements suivants:

- A : La lentille prélevée présente un rayon de courbure défectueux.

- B : La lentille prélevée présente une perméabilité à l'oxygène défectueuse.

- C : La lentille prélevée ne présente aucun défaut.

- D : La lentille prélevée présente les deux défauts.

Nous connaissons les probabilités suivantes:

- P(A) = 5% = 0,05

- P(B) = 3% = 0,03

- P(A ∪ B) = 6% = 0,06

- P(C) = ?

1. Pour calculer la probabilité que la lentille prélevée ne présente aucun défaut, nous utilisons la formule suivante:

\[P(C) = 1 - P(A \cup B)\]

\[P(C) = 1 - 0,06\]

\[P(C) = 0,94\]

2. Pour calculer la probabilité que la lentille prélevée présente les deux défauts, nous devons soustraire la probabilité de l'événement union de A et B de la somme des probabilités de A et B (puisque A et B sont mutuellement exclusifs):

\[P(D) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\]

\[P(D) = 0,05 + 0,03 - 0,06\]

\[P(D) = 0,02\]

3. Pour calculer la probabilité que la lentille prélevée n'ait qu'un seul des deux défauts, nous pouvons soustraire la probabilité de l'événement union de A et B de la somme des probabilités de A et B, puis ajouter la probabilité de l'événement intersection de A et B (car cela a été compté deux fois lors du calcul précédent):

\[P(C) = P(A) + P(B) - 2 \times P(A \cup B)\]

\[P(C) = 0,05 + 0,03 - 2 \times 0,06\]

\[P(C) = 0,02\]

Donc, les réponses sont :

1. La probabilité que la lentille prélevée au hasard ne présente aucun défaut est \(0,94\).

2. La probabilité que la lentille prélevée au hasard présente les deux défauts est \(0,02\).

3. La probabilité que la lentille prélevée au hasard n'ait qu'un seul des deux défauts est aussi \(0,02\).

Explications étape par étape :

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