Exercice 3 (6 points)
PARTIE A :
Un vétérinaire de centre-ville reçoit en majorité des chiens et des chats. Il remarque que 40 % de ses patients sont des chiens. Les chiens qu'il reçoit sont vaccinés à 80 % tandis que les chats sont vaccinés à 60 %.
On s'intéresse à un animal choisi au hasard.On note C l'événement « L'animal est un chien » et V l'événement « l'animal est vacciné ».
1. Donner les valeurs des probabilités suivantes :
a. P(C)
b. Pc (V)
c. Pa (V)
2. Construire l'arbre des probabilités représentant cette situation.
3. Calculer la probabilité que l'animal soit un chat et qu'il soit vacciné.
4. Le vétérinaire espère que 70% des animaux qu'il reçoit sont vaccinés. Est-ce le cas ? Justifier.
5. Donner, à 10-3, la probabilité que, sachant que l'animal est vacciné, il s'agisse d'un chat.
PARTIE B :
Le vétérinaire souhaite augmenter le nombre d'animaux vacciné qu'il reçoit. Pour cela, il procède ainsi: il mène une vaste campagne de sensibilisation parmi les propriétaires de ses patients, il attend 8 mois puis il sélectionne, au hasard, le dernier mois, 20 animaux au hasard. On considèrera cette sélection aléatoire comme un tirage avec remise car le vétérinaire voit un grand nombre d'animaux en 1 mois.
Il remarque que la probabilité qu'un animal ne soit pas vacciné est de 7 %.
Soit X la variable aléatoire qui, dans la sélection de 20 animaux, associe le nombre d'animaux vaccinés.
1. En justifiant, déterminer la loi de probabilité de X.
2. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire, et interpréter.