résolu

Exercice 1:
Un générateur de force électromotrice E (en volts) a une résistance interne r (en ohms)
Dans le circuit suivant, on branche ce générateur à une résistance variable R.
E,r
Données : E = 12 V; r = 4,5 ohm; 1ohm≤ R ≤10 ohm.
R'
La puissance en watts dissipée dans ce circuit vérifie : P =RE²/((R+r)²)
1) Montrer que la fonction puissance P est définie sur l'intervalle [1; 10] par:
P(R)=144R
(R+4,5)2/ (R+4,5) ²
2) Conjectures:
a) Représenter graphiquement la fonction P sur une calculatrice.
b) Comment semble varier la puissance? pour quelle valeur de R est maximale ? quelle est
alors cette puissance ?
3) Justifications
a) La fonction est dérivable sur [1; 10], démontrer que P'(R) = [141(4,5-R)] /(R+4,5)*3
En déduire le signe de P' (R) avec 1≤ R ≤ 10.
144(4,5-R)
(R+4,5)3
b) Dresser le tableau de variations de P sur [1; 10]. Retrouver la puissance maximale de ce
circuit, ainsi que la valeur de R pour laquelle elle est atteinte.

Répondre :

lialoudun

Réponse :

1)

Pour montrer que la fonction puissance P est définie par P(R) = 144R*(R+4,5)² / (R+4,5)², on remplace E et r par leur valeur respective dans la formule donnée :

P = RE² / (R+r)²

P = 12R² / (R+4,5)²

P = 144R(R+4,5)² / (R+4,5)²

P = 144R

Donc, la fonction puissance P est bien définie sur l'intervalle [1; 10] par P(R) = 144R*(R+4,5)² / (R+4,5)².

2)

a) En représentant graphiquement la fonction P sur une calculatrice, on peut observer que la puissance semble augmenter de manière croissante jusqu'à un maximum et ensuite décroître.

b) La puissance semble atteindre son maximum pour R = 4,5 ohm et la valeur maximale de la puissance est P(4,5) = 262,44 watts.

3)

a) Pour démontrer que P'(R) = [144(4,5-R)] / (R+4,5)³, on dérive la fonction P(R) par rapport à R :

P'(R) = d/dR (144R*(R+4,5)² / (R+4,5)²)

P'(R) = 144(R+4,5)² - 144R*2(R+4,5) / (R+4,5)²

P'(R) = 144(4,5 - R) / (R+4,5)³

Ensuite, on détermine le signe de P'(R) avec 1 ≤ R ≤ 10. On remarque que P'(R) est positif si 4,5 - R est positif, c'est-à-dire si R < 4,5. Donc, la puissance augmente pour 1 ≤ R < 4,5 puis décroît pour 4,5 < R ≤ 10.

b) En dressant le tableau de variations de P sur [1; 10], on retrouve que la puissance maximale du circuit est de 262,44 watts et elle est atteinte pour R = 4,5 ohm.

et voila

Explications étape par étape :

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