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1. Pour conjecturer les variations de la fonction f, examinons le comportement de f(x) lorsque x augmente et diminue.
- Lorsque x augmente, le terme x^2 dans le dénominateur de f(x) augmente plus rapidement que le terme constant 4. Par conséquent, le dénominateur x^2 + 4 augmente, ce qui entraîne une diminution de f(x). Ainsi, la fonction f(x) semble décroissante sur R+.
- De manière similaire, lorsque x diminue, le terme x^2 dans le dénominateur augmente plus lentement que le terme constant 4. Par conséquent, le dénominateur x^2 + 4 diminue, ce qui entraîne une augmentation de f(x). Ainsi, la fonction f(x) semble croissante sur R-.
2.
a) Programme de calcul :
x → 1/(x^2+4)
b) Raisonnement :
Soient a et b deux nombres positifs tels que a < b.
Alors, f(a) = 1/(a^2+4) et f(b) = 1/(b^2+4).
Comme a < b, nous avons a^2 < b^2, ce qui implique a^2 + 4 < b^2 + 4.
Donc, 1/(a^2 + 4) > 1/(b^2 + 4).
Ainsi, f(a) > f(b), ce qui signifie que la fonction f est décroissante sur R+.
3. Pour démontrer que f est croissante sur R-, nous devons montrer que pour tous x1, x2 tels que x1 < x2 dans R-, f(x1) < f(x2).
Soient x1, x2 deux nombres réels tels que x1 < x2 dans R-.
Alors, x2 < x1 car nous sommes dans R-, où les nombres sont négatifs.
Par conséquent, x2^2 < x1^2.
Donc, x2^2 + 4 < x1^2 + 4.
Donc, 1/(x2^2 + 4) > 1/(x1^2 + 4).
Ainsi, f(x2) > f(x1), ce qui montre que la fonction f est croissante sur R-.
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