jetgella
résolu

on considère un quart de cercle de centre A, d'extrémité B et C et de rayon 5 cm.
Quel que soit le point M sur le segment [AB], on note N le point du quart de cercle tel que M soit le projeté orthogonal de N sur la droite (AB).

Déterminer la position du point M pour que l'aire du triangle AMN soit la plus grande possible.

Merci de bien vouloir m'aider :⁠-⁠)​

on considère un quart de cercle de centre A dextrémité B et C et de rayon 5 cm Quel que soit le point M sur le segment AB on note N le point du quart de cercle class=

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Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour,

1) On a AN = AB = AC =R = 5 puisque N est sur le cercle.

M est le projeté orthogonal de N sur la droite (AB), donc (MN) ⊥(AB) et AMN est un triangle rectangle en N

Dans le triangle rectangle AMN, rectangle en N, on a d'après le théorème de Pythagore :

MN² = AN²-AM² ⇔ MN = 5²-x² = 25 -x² ⇔MN = sqrt(25-x²)

2) 25-x² ≥0 ⇔5²-x²≥0 ⇔ (5-x)(5+x)≥0

5-x ≥ 0 ⇔ x≤ 5

5+x ≥ 0 ⇔ x≥ -5

Donc (5-x)(5+x) ≥0 ⇔ x ∈ [-5; 5]

sqrt(25-x²) n'est définie que si (25-x²) ≥ 0 donc si  x ∈ [-5; 5] d'après le résultat précédent.

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