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81 On considère le triangle ABC tel que A(-2;-3),
B(4-6) et C(4;2).
1. Montrer que la droite d'équation y+3=0 est la
hauteur du triangle ABC issue de A.
soit H(x ; y) le projeté orthogonal de A sur (BC)
vec(BC) = (0 ; 8)
vec(AH) = (x + 2 ; y + 3)
le produit scalaire vec(AH).vec(BC) = 0 ⇔ XX' +YY' = 0
⇔ 0 * (x + 2) + 8*(y + 3) = 0 ⇔ y + 3 = 0
2. a. Montrer que le vecteur n(-2 ; ??). est orthogonal au vecteur AB.
il suffit que le produit scalaire vec(n).vec(AB) = 0
vec(AB) = (6 ; - 3)
il manque l'ordonnée du vecteur n
b. En déduire une équation de la hauteur du triangle
ABC issue de C.
soit H'(x ; y) le projeté orthogonal de C sur (AB)
vec(CH') = (x - 4 ; y - 2)
vec(AB) = (6 , - 3)
le produit scalaire vec(CH').vec(AB) = 0 ⇔ 6*(x - 4) + (-3)*(y - 2) = 0
6x - 24 - 3y + 6 = 0
6x - 3y - 18 = 0
3. Déterminer les coordonnées de l'orthocentre du*
triangle ABC.
hauteur (AH) : y + 3 = 0 ⇔ y = - 3
hauteur (CH') : 6x - 3y - 18 = 0 ⇔ 6x - 3*(- 3) - 18 = 0
6x - 9 = 0 ⇔ x = 3/2
donc les coordonnées de l'orthocentre sont (3/2 ; - 3)
Est ce possible de m’aider s’il vous plaît ?
Explications étape par étape :
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Explications étape par étape :
Bonjour
vecteur BC : (xC-xB ; yC-yB) soit (0 ; 8)
vecteur orthonal à BC : V ( 1, 0 )
Equation de la hauteur du triangle ABC issue de A : ax + by + c = 0
V vecteur directeur de cette hauteur
vecteur V (-1 ; 0)
Equation de la hauteur du triangle ABC issue de A : -y + c = 0
A appartient à cette hauteur -3 + c = 0 soit c = 3
Equation de la hauteur du triangle ABC issue de A: y + 3 = 0
2) a) vecteur AB : (6 ; -3)
vecteur orthonanal au vecteur AB : n (2 ; 4 )
b) équation de la hauteur du triangle ABC issue de C.
4x - 2y + c = 0
C appartient à cette hauteur 16 - 4 + c = 0 soit c = -12
Equation de la hauteur du triangle ABC issue de A: 4x - 2y -12 = 0
soit encore 2x - y - 6 = 0
3) On résout
2x - y - 6 = 0
y + 3 = 0
On obtient x = 3/2 et y = -3
donc orthcentre H ( 3/2 ; - 3)
Vérification graphique en fichier joint
