Réponse :
1. Pour déterminer les points d'intersection de \( (C_g) \) avec l'axe des abscisses, il faut résoudre l'équation \( g(x) = 0 \).
\[
g(x) = x^2 - 3x + 4
\]
Pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses, on résout \( x^2 - 3x + 4 = 0 \).
La solution de cette équation dépend du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \). Ici, \( a = 1 \), \( b = -3 \), et \( c = 4 \).
\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]
Puisque \( \Delta < 0 \), l'équation \( g(x) = 0 \) n'a pas de solution réelle, donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses.
2. Vérifions l'identité \( g(x) = (x - 2)^2 - 1 \).
\[
\begin{align*}
g(x) &= x^2 - 3x + 4 \\
&= x^2 - 3x + 9 - 9 + 4 \\
&= (x^2 - 3x + 9) - 9 + 4 \\
&= (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 9 + 4 \\
&= (x - 2)^2 - 5.
\end{align*}
\]
Donc, \( g(x) = (x - 2)^2 - 5 \), pas \( (x - 2)^2 - 1 \). Il y a peut-être une erreur dans la question.
3. Pour déterminer les variations de \( g \) sur \(]-\infty, +\infty[\), on peut utiliser la dérivée de \( g \) et le test de la dérivée.
La dérivée de \( g \) est \( g'(x) = 2x - 3 \). Pour trouver les variations, trouvons les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( g'(x) = 0 \).
\[
2x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}.
\]
Faisons un tableau de signes pour \( g' \) sur \(]-\infty, +\infty[\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
x & -\infty & & \frac{3}{2} & & +\infty \\
\hline
g'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
g(x) & \nearrow & \text{Max} & \searrow & \text{Min} & \nearrow \\
\end{array}
\]
4. On peut maintenant tracer le graphe de \( g \) en utilisant les informations trouvées.
5. Pour résoudre graphiquement \( g(x) \geq 0 \), il suffit de trouver les points où la courbe de \( g \) est au-dessus ou sur l'axe des abscisses.
Explications étape par étape :
